Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68022 / 43806
↖ ↑ ↗
← N 51.127660°
E  6.828003°		 ← 191.68 m → N 51.127660°
E  6.830750°		 →
↑
191.64 m
↓
↑
191.64 m
↓
N 51.125937°
E  6.828003°		 ← 191.69 m →
36 734 m²		 N 51.125937°
E  6.830750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518970489501953 y=0.334217071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518970489501953 × 217)
    floor (0.518970489501953 × 131072)
    floor (68022.5)     		tx = 68022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334217071533203 × 217)
    floor (0.334217071533203 × 131072)
    floor (43806.5)     		ty = 43806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68022 / 43806 ti = "17/68022/43806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68022/43806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68022 ÷ 217
    68022 ÷ 131072     		x = 0.518966674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43806 ÷ 217
    43806 ÷ 131072     		y = 0.334213256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518966674804688 × 2 - 1) × π
    0.037933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11917113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334213256835938 × 2 - 1) × π
    0.331573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04166882874382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11917113} λ = 0.11917113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04166882874382))-π/2
    2×atan(2.83394243488974)-π/2
    2×1.23157116915629-π/2
    2.46314233831257-1.57079632675     		φ = 0.89234601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11917113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.828003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89234601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.127660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68022 KachelY 43806 0.11917113 0.89234601 6.828003 51.127660
    Oben rechts KachelX + 1 68023 KachelY 43806 0.11921907 0.89234601 6.830750 51.127660
    Unten links KachelX 68022 KachelY + 1 43807 0.11917113 0.89231593 6.828003 51.125937
    Unten rechts KachelX + 1 68023 KachelY + 1 43807 0.11921907 0.89231593 6.830750 51.125937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89234601-0.89231593) × R
    3.00800000000434e-05 × 6371000     		dl = 191.639680000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89234601-0.89231593) × R
    3.00800000000434e-05 × 6371000     		dr = 191.639680000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11917113-0.11921907) × cos(0.89234601) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627587278089032 × 6371000     		do = 191.681308824914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11917113-0.11921907) × cos(0.89231593) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627610696475243 × 6371000     		du = 191.688461402852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89234601)-sin(0.89231593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627587278089032-0.627610696475243)×R²
    abs(0.11921907-0.11917113)×2.3418386211449e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3418386211449e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3418386211449e-05×40589641000000     		ar = 36734.4300468356m²