Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68025 / 43784
↖ ↑ ↗
← N 51.165567°
E  6.836242°		 ← 191.52 m → N 51.165567°
E  6.838989°		 →
↑
191.51 m
↓
↑
191.51 m
↓
N 51.163844°
E  6.836242°		 ← 191.53 m →
36 680 m²		 N 51.163844°
E  6.838989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518993377685547 y=0.334049224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518993377685547 × 217)
    floor (0.518993377685547 × 131072)
    floor (68025.5)     		tx = 68025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334049224853516 × 217)
    floor (0.334049224853516 × 131072)
    floor (43784.5)     		ty = 43784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68025 / 43784 ti = "17/68025/43784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68025/43784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68025 ÷ 217
    68025 ÷ 131072     		x = 0.518989562988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43784 ÷ 217
    43784 ÷ 131072     		y = 0.33404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518989562988281 × 2 - 1) × π
    0.0379791259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11931494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33404541015625 × 2 - 1) × π
    0.3319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04272344053546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11931494} λ = 0.11931494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04272344053546))-π/2
    2×atan(2.8369327205165)-π/2
    2×1.23190196378303-π/2
    2.46380392756606-1.57079632675     		φ = 0.89300760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11931494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.836242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89300760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.165567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68025 KachelY 43784 0.11931494 0.89300760 6.836242 51.165567
    Oben rechts KachelX + 1 68026 KachelY 43784 0.11936288 0.89300760 6.838989 51.165567
    Unten links KachelX 68025 KachelY + 1 43785 0.11931494 0.89297754 6.836242 51.163844
    Unten rechts KachelX + 1 68026 KachelY + 1 43785 0.11936288 0.89297754 6.838989 51.163844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89300760-0.89297754) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dl = 191.512260000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89300760-0.89297754) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dr = 191.512260000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11931494-0.11936288) × cos(0.89300760) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.627072062388554 × 6371000     		do = 191.523948688391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11931494-0.11936288) × cos(0.89297754) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.627095477680405 × 6371000     		du = 191.531100321232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89300760)-sin(0.89297754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627072062388554-0.627095477680405)×R²
    abs(0.11936288-0.11931494)×2.34152918509034e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.34152918509034e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.34152918509034e-05×40589641000000     		ar = 36679.869073058m²