Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68034 / 43789
↖ ↑ ↗
← N 51.156954°
E  6.860962°		 ← 191.52 m → N 51.156954°
E  6.863708°		 →
↑
191.58 m
↓
↑
191.58 m
↓
N 51.155232°
E  6.860962°		 ← 191.53 m →
36 691 m²		 N 51.155232°
E  6.863708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519062042236328 y=0.334087371826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519062042236328 × 217)
    floor (0.519062042236328 × 131072)
    floor (68034.5)     		tx = 68034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334087371826172 × 217)
    floor (0.334087371826172 × 131072)
    floor (43789.5)     		ty = 43789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68034 / 43789 ti = "17/68034/43789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68034/43789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68034 ÷ 217
    68034 ÷ 131072     		x = 0.519058227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43789 ÷ 217
    43789 ÷ 131072     		y = 0.334083557128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519058227539062 × 2 - 1) × π
    0.038116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11974638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334083557128906 × 2 - 1) × π
    0.331832885742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.04248375603736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11974638} λ = 0.11974638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04248375603736))-π/2
    2×atan(2.83625283320371)-π/2
    2×1.23182680704126-π/2
    2.46365361408252-1.57079632675     		φ = 0.89285729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11974638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.860962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89285729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.156954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68034 KachelY 43789 0.11974638 0.89285729 6.860962 51.156954
    Oben rechts KachelX + 1 68035 KachelY 43789 0.11979431 0.89285729 6.863708 51.156954
    Unten links KachelX 68034 KachelY + 1 43790 0.11974638 0.89282722 6.860962 51.155232
    Unten rechts KachelX + 1 68035 KachelY + 1 43790 0.11979431 0.89282722 6.863708 51.155232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89285729-0.89282722) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dl = 191.575969999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89285729-0.89282722) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dr = 191.575969999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11974638-0.11979431) × cos(0.89285729) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.62718914096981 × 6371000     		do = 191.519749280504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11974638-0.11979431) × cos(0.89282722) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.627212561216513 × 6371000     		du = 191.52690093458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89285729)-sin(0.89282722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62718914096981-0.627212561216513)×R²
    abs(0.11979431-0.11974638)×2.34202467034317e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34202467034317e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34202467034317e-05×40589641000000     		ar = 36691.2667877216m²