Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68035 / 43786
↖ ↑ ↗
← N 51.162122°
E  6.863708°		 ← 191.54 m → N 51.162122°
E  6.866455°		 →
↑
191.51 m
↓
↑
191.51 m
↓
N 51.160400°
E  6.863708°		 ← 191.55 m →
36 683 m²		 N 51.160400°
E  6.866455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519069671630859 y=0.334064483642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519069671630859 × 217)
    floor (0.519069671630859 × 131072)
    floor (68035.5)     		tx = 68035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334064483642578 × 217)
    floor (0.334064483642578 × 131072)
    floor (43786.5)     		ty = 43786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68035 / 43786 ti = "17/68035/43786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68035/43786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68035 ÷ 217
    68035 ÷ 131072     		x = 0.519065856933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43786 ÷ 217
    43786 ÷ 131072     		y = 0.334060668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519065856933594 × 2 - 1) × π
    0.0381317138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11979431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334060668945312 × 2 - 1) × π
    0.331878662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04262756673622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11979431} λ = 0.11979431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04262756673622))-π/2
    2×atan(2.83666074603621)-π/2
    2×1.23187190277007-π/2
    2.46374380554014-1.57079632675     		φ = 0.89294748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11979431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.863708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89294748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.162122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68035 KachelY 43786 0.11979431 0.89294748 6.863708 51.162122
    Oben rechts KachelX + 1 68036 KachelY 43786 0.11984225 0.89294748 6.866455 51.162122
    Unten links KachelX 68035 KachelY + 1 43787 0.11979431 0.89291742 6.863708 51.160400
    Unten rechts KachelX + 1 68036 KachelY + 1 43787 0.11984225 0.89291742 6.866455 51.160400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89294748-0.89291742) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dl = 191.512260000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89294748-0.89291742) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dr = 191.512260000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11979431-0.11984225) × cos(0.89294748) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.62711889240561 × 6371000     		do = 191.538251780949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11979431-0.11984225) × cos(0.89291742) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627142306564149 × 6371000     		du = 191.545403067647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89294748)-sin(0.89291742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62711889240561-0.627142306564149)×R²
    abs(0.11984225-0.11979431)×2.34141585382375e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34141585382375e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34141585382375e-05×40589641000000     		ar = 36682.6082575251m²