Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68036 / 43788
↖ ↑ ↗
← N 51.158677°
E  6.866455°		 ← 191.55 m → N 51.158677°
E  6.869202°		 →
↑
191.51 m
↓
↑
191.51 m
↓
N 51.156954°
E  6.866455°		 ← 191.56 m →
36 685 m²		 N 51.156954°
E  6.869202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519077301025391 y=0.334079742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519077301025391 × 217)
    floor (0.519077301025391 × 131072)
    floor (68036.5)     		tx = 68036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334079742431641 × 217)
    floor (0.334079742431641 × 131072)
    floor (43788.5)     		ty = 43788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68036 / 43788 ti = "17/68036/43788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68036/43788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68036 ÷ 217
    68036 ÷ 131072     		x = 0.519073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43788 ÷ 217
    43788 ÷ 131072     		y = 0.334075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519073486328125 × 2 - 1) × π
    0.03814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11984225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334075927734375 × 2 - 1) × π
    0.33184814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04253169293698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11984225} λ = 0.11984225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04253169293698))-π/2
    2×atan(2.83638879762991)-π/2
    2×1.23184183951212-π/2
    2.46368367902425-1.57079632675     		φ = 0.89288735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11984225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.866455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89288735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.158677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68036 KachelY 43788 0.11984225 0.89288735 6.866455 51.158677
    Oben rechts KachelX + 1 68037 KachelY 43788 0.11989019 0.89288735 6.869202 51.158677
    Unten links KachelX 68036 KachelY + 1 43789 0.11984225 0.89285729 6.866455 51.156954
    Unten rechts KachelX + 1 68037 KachelY + 1 43789 0.11989019 0.89285729 6.869202 51.156954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89288735-0.89285729) × R
    3.00599999999429e-05 × 6371000     		dl = 191.512259999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89288735-0.89285729) × R
    3.00599999999429e-05 × 6371000     		dr = 191.512259999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11984225-0.11989019) × cos(0.89288735) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627165727944857 × 6371000     		do = 191.552556560182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11984225-0.11989019) × cos(0.89285729) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.62718914096981 × 6371000     		du = 191.559707500654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89288735)-sin(0.89285729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627165727944857-0.62718914096981)×R²
    abs(0.11989019-0.11984225)×2.34130249524567e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34130249524567e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34130249524567e-05×40589641000000     		ar = 36685.3477647586m²