Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68048 / 43759
↖ ↑ ↗
← N 51.208604°
E  6.899414°		 ← 191.35 m → N 51.208604°
E  6.902161°		 →
↑
191.38 m
↓
↑
191.38 m
↓
N 51.206883°
E  6.899414°		 ← 191.35 m →
36 621 m²		 N 51.206883°
E  6.902161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519168853759766 y=0.333858489990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519168853759766 × 217)
    floor (0.519168853759766 × 131072)
    floor (68048.5)     		tx = 68048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333858489990234 × 217)
    floor (0.333858489990234 × 131072)
    floor (43759.5)     		ty = 43759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68048 / 43759 ti = "17/68048/43759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68048/43759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68048 ÷ 217
    68048 ÷ 131072     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43759 ÷ 217
    43759 ÷ 131072     		y = 0.333854675292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333854675292969 × 2 - 1) × π
    0.332290649414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.04392186302596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04392186302596))-π/2
    2×atan(2.84033460253161)-π/2
    2×1.23227753704796-π/2
    2.46455507409592-1.57079632675     		φ = 0.89375875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89375875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.208604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68048 KachelY 43759 0.12041749 0.89375875 6.899414 51.208604
    Oben rechts KachelX + 1 68049 KachelY 43759 0.12046543 0.89375875 6.902161 51.208604
    Unten links KachelX 68048 KachelY + 1 43760 0.12041749 0.89372871 6.899414 51.206883
    Unten rechts KachelX + 1 68049 KachelY + 1 43760 0.12046543 0.89372871 6.902161 51.206883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89375875-0.89372871) × R
    3.00400000000645e-05 × 6371000     		dl = 191.384840000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89375875-0.89372871) × R
    3.00400000000645e-05 × 6371000     		dr = 191.384840000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12046543) × cos(0.89375875) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.626486768795574 × 6371000     		do = 191.345184959582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12046543) × cos(0.89372871) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.626510182651834 × 6371000     		du = 191.352336153957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89375875)-sin(0.89372871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626486768795574-0.626510182651834)×R²
    abs(0.12046543-0.12041749)×2.34138562605901e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34138562605901e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34138562605901e-05×40589641000000     		ar = 36621.2519263385m²