Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68159 / 43840
↖ ↑ ↗
← N 51.069017°
E  7.204285°		 ← 191.88 m → N 51.069017°
E  7.207031°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
N 51.067291°
E  7.204285°		 ← 191.89 m →
36 835 m²		 N 51.067291°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520015716552734 y=0.334476470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520015716552734 × 217)
    floor (0.520015716552734 × 131072)
    floor (68159.5)     		tx = 68159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334476470947266 × 217)
    floor (0.334476470947266 × 131072)
    floor (43840.5)     		ty = 43840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68159 / 43840 ti = "17/68159/43840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68159/43840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68159 ÷ 217
    68159 ÷ 131072     		x = 0.520011901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43840 ÷ 217
    43840 ÷ 131072     		y = 0.33447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520011901855469 × 2 - 1) × π
    0.0400238037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12573849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33447265625 × 2 - 1) × π
    0.3310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04003897415674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12573849} λ = 0.12573849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04003897415674))-π/2
    2×atan(2.82932728284772)-π/2
    2×1.23105940662107-π/2
    2.46211881324214-1.57079632675     		φ = 0.89132249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12573849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.204285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89132249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.069017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68159 KachelY 43840 0.12573849 0.89132249 7.204285 51.069017
    Oben rechts KachelX + 1 68160 KachelY 43840 0.12578642 0.89132249 7.207031 51.069017
    Unten links KachelX 68159 KachelY + 1 43841 0.12573849 0.89129236 7.204285 51.067291
    Unten rechts KachelX + 1 68160 KachelY + 1 43841 0.12578642 0.89129236 7.207031 51.067291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89132249-0.89129236) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dl = 191.958229999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89132249-0.89129236) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dr = 191.958229999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12573849-0.12578642) × cos(0.89132249) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628383806843492 × 6371000     		do = 191.884554876863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12573849-0.12578642) × cos(0.89129236) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628407244789475 × 6371000     		du = 191.891711935627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89132249)-sin(0.89129236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628383806843492-0.628407244789475)×R²
    abs(0.12578642-0.12573849)×2.34379459829182e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34379459829182e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34379459829182e-05×40589641000000     		ar = 36834.5064494659m²