Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68159 / 43841
↖ ↑ ↗
← N 51.067291°
E  7.204285°		 ← 191.89 m → N 51.067291°
E  7.207031°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
N 51.065565°
E  7.204285°		 ← 191.90 m →
36 824 m²		 N 51.065565°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520015716552734 y=0.334484100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520015716552734 × 217)
    floor (0.520015716552734 × 131072)
    floor (68159.5)     		tx = 68159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334484100341797 × 217)
    floor (0.334484100341797 × 131072)
    floor (43841.5)     		ty = 43841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68159 / 43841 ti = "17/68159/43841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68159/43841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68159 ÷ 217
    68159 ÷ 131072     		x = 0.520011901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43841 ÷ 217
    43841 ÷ 131072     		y = 0.334480285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520011901855469 × 2 - 1) × π
    0.0400238037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12573849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334480285644531 × 2 - 1) × π
    0.331039428710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.03999103725712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12573849} λ = 0.12573849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03999103725712))-π/2
    2×atan(2.82919165692054)-π/2
    2×1.23104434495445-π/2
    2.46208868990889-1.57079632675     		φ = 0.89129236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12573849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.204285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89129236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.067291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68159 KachelY 43841 0.12573849 0.89129236 7.204285 51.067291
    Oben rechts KachelX + 1 68160 KachelY 43841 0.12578642 0.89129236 7.207031 51.067291
    Unten links KachelX 68159 KachelY + 1 43842 0.12573849 0.89126224 7.204285 51.065565
    Unten rechts KachelX + 1 68160 KachelY + 1 43842 0.12578642 0.89126224 7.207031 51.065565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89129236-0.89126224) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dl = 191.894520000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89129236-0.89126224) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dr = 191.894520000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12573849-0.12578642) × cos(0.89129236) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628407244789475 × 6371000     		do = 191.891711935627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12573849-0.12578642) × cos(0.89126224) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.628430674386324 × 6371000     		du = 191.898866444883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89129236)-sin(0.89126224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628407244789475-0.628430674386324)×R²
    abs(0.12578642-0.12573849)×2.34295968484233e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34295968484233e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34295968484233e-05×40589641000000     		ar = 36823.654412213m²