Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68160 / 43712
↖ ↑ ↗
← N 51.289406°
E  7.207031°		 ← 191.01 m → N 51.289406°
E  7.209778°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
N 51.287688°
E  7.207031°		 ← 191.02 m →
36 484 m²		 N 51.287688°
E  7.209778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520023345947266 y=0.333499908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520023345947266 × 217)
    floor (0.520023345947266 × 131072)
    floor (68160.5)     		tx = 68160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333499908447266 × 217)
    floor (0.333499908447266 × 131072)
    floor (43712.5)     		ty = 43712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68160 / 43712 ti = "17/68160/43712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68160/43712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68160 ÷ 217
    68160 ÷ 131072     		x = 0.52001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43712 ÷ 217
    43712 ÷ 131072     		y = 0.33349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33349609375 × 2 - 1) × π
    0.3330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04617489730811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12578642} λ = 0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04617489730811))-π/2
    2×atan(2.84674118818235)-π/2
    2×1.23298266558521-π/2
    2.46596533117042-1.57079632675     		φ = 0.89516900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89516900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.289406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68160 KachelY 43712 0.12578642 0.89516900 7.207031 51.289406
    Oben rechts KachelX + 1 68161 KachelY 43712 0.12583436 0.89516900 7.209778 51.289406
    Unten links KachelX 68160 KachelY + 1 43713 0.12578642 0.89513902 7.207031 51.287688
    Unten rechts KachelX + 1 68161 KachelY + 1 43713 0.12583436 0.89513902 7.209778 51.287688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89516900-0.89513902) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89516900-0.89513902) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12578642-0.12583436) × cos(0.89516900) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.625386952124284 × 6371000     		do = 191.009272638889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12578642-0.12583436) × cos(0.89513902) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.625410345680418 × 6371000     		du = 191.016417633083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89516900)-sin(0.89513902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625386952124284-0.625410345680418)×R²
    abs(0.12583436-0.12578642)×2.33935561331222e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33935561331222e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33935561331222e-05×40589641000000     		ar = 36483.9462368375m²