Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68168 / 43720
↖ ↑ ↗
← N 51.275663°
E  7.229004°		 ← 191.07 m → N 51.275663°
E  7.231751°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
N 51.273944°
E  7.229004°		 ← 191.07 m →
36 507 m²		 N 51.273944°
E  7.231751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520084381103516 y=0.333560943603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520084381103516 × 217)
    floor (0.520084381103516 × 131072)
    floor (68168.5)     		tx = 68168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333560943603516 × 217)
    floor (0.333560943603516 × 131072)
    floor (43720.5)     		ty = 43720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68168 / 43720 ti = "17/68168/43720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68168/43720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68168 ÷ 217
    68168 ÷ 131072     		x = 0.52008056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43720 ÷ 217
    43720 ÷ 131072     		y = 0.33355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52008056640625 × 2 - 1) × π
    0.0401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12616992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33355712890625 × 2 - 1) × π
    0.3328857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04579140211114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12616992} λ = 0.12616992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04579140211114))-π/2
    2×atan(2.845649685916)-π/2
    2×1.23286273119672-π/2
    2.46572546239343-1.57079632675     		φ = 0.89492914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12616992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.229004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89492914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.275663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68168 KachelY 43720 0.12616992 0.89492914 7.229004 51.275663
    Oben rechts KachelX + 1 68169 KachelY 43720 0.12621786 0.89492914 7.231751 51.275663
    Unten links KachelX 68168 KachelY + 1 43721 0.12616992 0.89489915 7.229004 51.273944
    Unten rechts KachelX + 1 68169 KachelY + 1 43721 0.12621786 0.89489915 7.231751 51.273944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89492914-0.89489915) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dl = 191.066290000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89492914-0.89489915) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dr = 191.066290000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12616992-0.12621786) × cos(0.89492914) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.625574100436133 × 6371000     		do = 191.066432550526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12616992-0.12621786) × cos(0.89489915) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.625597497295809 × 6371000     		du = 191.073578553706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89492914)-sin(0.89489915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625574100436133-0.625597497295809)×R²
    abs(0.12621786-0.12616992)×2.3396859676672e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3396859676672e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3396859676672e-05×40589641000000     		ar = 36507.0370938765m²