Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68168 / 43848
↖ ↑ ↗
← N 51.055207°
E  7.229004°		 ← 191.98 m → N 51.055207°
E  7.231751°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
N 51.053481°
E  7.229004°		 ← 191.99 m →
36 853 m²		 N 51.053481°
E  7.231751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520084381103516 y=0.334537506103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520084381103516 × 217)
    floor (0.520084381103516 × 131072)
    floor (68168.5)     		tx = 68168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334537506103516 × 217)
    floor (0.334537506103516 × 131072)
    floor (43848.5)     		ty = 43848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68168 / 43848 ti = "17/68168/43848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68168/43848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68168 ÷ 217
    68168 ÷ 131072     		x = 0.52008056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43848 ÷ 217
    43848 ÷ 131072     		y = 0.33453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52008056640625 × 2 - 1) × π
    0.0401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12616992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33453369140625 × 2 - 1) × π
    0.3309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03965547895978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12616992} λ = 0.12616992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03965547895978))-π/2
    2×atan(2.82824245745008)-π/2
    2×1.23093889756145-π/2
    2.4618777951229-1.57079632675     		φ = 0.89108147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12616992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.229004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89108147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.055207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68168 KachelY 43848 0.12616992 0.89108147 7.229004 51.055207
    Oben rechts KachelX + 1 68169 KachelY 43848 0.12621786 0.89108147 7.231751 51.055207
    Unten links KachelX 68168 KachelY + 1 43849 0.12616992 0.89105134 7.229004 51.053481
    Unten rechts KachelX + 1 68169 KachelY + 1 43849 0.12621786 0.89105134 7.231751 51.053481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89108147-0.89105134) × R
    3.01300000000726e-05 × 6371000     		dl = 191.958230000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89108147-0.89105134) × R
    3.01300000000726e-05 × 6371000     		dr = 191.958230000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12616992-0.12621786) × cos(0.89108147) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628571278881721 × 6371000     		do = 191.981847995181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12616992-0.12621786) × cos(0.89105134) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628594712263658 × 6371000     		du = 191.9890051532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89108147)-sin(0.89105134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628571278881721-0.628594712263658)×R²
    abs(0.12621786-0.12616992)×2.3433381936333e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3433381936333e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3433381936333e-05×40589641000000     		ar = 36853.182673664m²