Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68208 / 43696
↖ ↑ ↗
← N 51.316881°
E  7.338867°		 ← 190.86 m → N 51.316881°
E  7.341614°		 →
↑
190.94 m
↓
↑
190.94 m
↓
N 51.315164°
E  7.338867°		 ← 190.86 m →
36 442 m²		 N 51.315164°
E  7.341614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520389556884766 y=0.333377838134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520389556884766 × 217)
    floor (0.520389556884766 × 131072)
    floor (68208.5)     		tx = 68208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333377838134766 × 217)
    floor (0.333377838134766 × 131072)
    floor (43696.5)     		ty = 43696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68208 / 43696 ti = "17/68208/43696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68208/43696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68208 ÷ 217
    68208 ÷ 131072     		x = 0.5203857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43696 ÷ 217
    43696 ÷ 131072     		y = 0.3333740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5203857421875 × 2 - 1) × π
    0.040771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12808740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3333740234375 × 2 - 1) × π
    0.333251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04694188770203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12808740} λ = 0.12808740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04694188770203))-π/2
    2×atan(2.84892544887407)-π/2
    2×1.23322242671214-π/2
    2.46644485342428-1.57079632675     		φ = 0.89564853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12808740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89564853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.316881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68208 KachelY 43696 0.12808740 0.89564853 7.338867 51.316881
    Oben rechts KachelX + 1 68209 KachelY 43696 0.12813533 0.89564853 7.341614 51.316881
    Unten links KachelX 68208 KachelY + 1 43697 0.12808740 0.89561856 7.338867 51.315164
    Unten rechts KachelX + 1 68209 KachelY + 1 43697 0.12813533 0.89561856 7.341614 51.315164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89564853-0.89561856) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dl = 190.938870000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89564853-0.89561856) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dr = 190.938870000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12808740-0.12813533) × cos(0.89564853) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.625012695887316 × 6371000     		do = 190.85514559193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12808740-0.12813533) × cos(0.89561856) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.625036090625725 × 6371000     		du = 190.862289456742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89564853)-sin(0.89561856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625012695887316-0.625036090625725)×R²
    abs(0.12813533-0.12808740)×2.3394738409066e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3394738409066e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3394738409066e-05×40589641000000     		ar = 36442.3478566448m²