Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68220 / 43660
↖ ↑ ↗
← N 51.378638°
E  7.371826°		 ← 190.64 m → N 51.378638°
E  7.374573°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
N 51.376924°
E  7.371826°		 ← 190.65 m →
36 340 m²		 N 51.376924°
E  7.374573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520481109619141 y=0.333103179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520481109619141 × 217)
    floor (0.520481109619141 × 131072)
    floor (68220.5)     		tx = 68220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333103179931641 × 217)
    floor (0.333103179931641 × 131072)
    floor (43660.5)     		ty = 43660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68220 / 43660 ti = "17/68220/43660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68220/43660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68220 ÷ 217
    68220 ÷ 131072     		x = 0.520477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43660 ÷ 217
    43660 ÷ 131072     		y = 0.333099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520477294921875 × 2 - 1) × π
    0.04095458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12866264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333099365234375 × 2 - 1) × π
    0.33380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04866761608835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12866264} λ = 0.12866264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04866761608835))-π/2
    2×atan(2.85384616508031)-π/2
    2×1.23376136459464-π/2
    2.46752272918928-1.57079632675     		φ = 0.89672640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12866264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.371826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89672640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.378638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68220 KachelY 43660 0.12866264 0.89672640 7.371826 51.378638
    Oben rechts KachelX + 1 68221 KachelY 43660 0.12871058 0.89672640 7.374573 51.378638
    Unten links KachelX 68220 KachelY + 1 43661 0.12866264 0.89669648 7.371826 51.376924
    Unten rechts KachelX + 1 68221 KachelY + 1 43661 0.12871058 0.89669648 7.374573 51.376924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89672640-0.89669648) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89672640-0.89669648) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12866264-0.12871058) × cos(0.89672640) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.624170931936729 × 6371000     		do = 190.637868773251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12866264-0.12871058) × cos(0.89669648) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.624194307788729 × 6371000     		du = 190.645008360146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89672640)-sin(0.89669648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624170931936729-0.624194307788729)×R²
    abs(0.12871058-0.12866264)×2.33758519992966e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33758519992966e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33758519992966e-05×40589641000000     		ar = 36340.1320276053m²