Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68224 / 43648
↖ ↑ ↗
← N 51.399206°
E  7.382813°		 ← 190.51 m → N 51.399206°
E  7.385559°		 →
↑
190.56 m
↓
↑
190.56 m
↓
N 51.397492°
E  7.382813°		 ← 190.52 m →
36 304 m²		 N 51.397492°
E  7.385559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520511627197266 y=0.333011627197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520511627197266 × 217)
    floor (0.520511627197266 × 131072)
    floor (68224.5)     		tx = 68224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333011627197266 × 217)
    floor (0.333011627197266 × 131072)
    floor (43648.5)     		ty = 43648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68224 / 43648 ti = "17/68224/43648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68224/43648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68224 ÷ 217
    68224 ÷ 131072     		x = 0.5205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43648 ÷ 217
    43648 ÷ 131072     		y = 0.3330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5205078125 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3330078125 × 2 - 1) × π
    0.333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04924285888379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12885439} λ = 0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04924285888379))-π/2
    2×atan(2.85548829179156)-π/2
    2×1.23394084917019-π/2
    2.46788169834038-1.57079632675     		φ = 0.89708537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89708537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.399206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68224 KachelY 43648 0.12885439 0.89708537 7.382813 51.399206
    Oben rechts KachelX + 1 68225 KachelY 43648 0.12890232 0.89708537 7.385559 51.399206
    Unten links KachelX 68224 KachelY + 1 43649 0.12885439 0.89705546 7.382813 51.397492
    Unten rechts KachelX + 1 68225 KachelY + 1 43649 0.12890232 0.89705546 7.385559 51.397492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89708537-0.89705546) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dl = 190.556609999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89708537-0.89705546) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dr = 190.556609999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12885439-0.12890232) × cos(0.89708537) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.62389043284113 × 6371000     		do = 190.512449069842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12885439-0.12890232) × cos(0.89705546) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.623913807580651 × 6371000     		du = 190.519586827753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89708537)-sin(0.89705546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62389043284113-0.623913807580651)×R²
    abs(0.12890232-0.12885439)×2.337473952152e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.337473952152e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.337473952152e-05×40589641000000     		ar = 36304.0865336683m²