Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68225 / 43649
↖ ↑ ↗
← N 51.397492°
E  7.385559°		 ← 190.56 m → N 51.397492°
E  7.388306°		 →
↑
190.56 m
↓
↑
190.56 m
↓
N 51.395778°
E  7.385559°		 ← 190.57 m →
36 313 m²		 N 51.395778°
E  7.388306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520519256591797 y=0.333019256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520519256591797 × 217)
    floor (0.520519256591797 × 131072)
    floor (68225.5)     		tx = 68225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333019256591797 × 217)
    floor (0.333019256591797 × 131072)
    floor (43649.5)     		ty = 43649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68225 / 43649 ti = "17/68225/43649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68225/43649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68225 ÷ 217
    68225 ÷ 131072     		x = 0.520515441894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43649 ÷ 217
    43649 ÷ 131072     		y = 0.333015441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520515441894531 × 2 - 1) × π
    0.0410308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12890232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333015441894531 × 2 - 1) × π
    0.333969116210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.04919492198417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12890232} λ = 0.12890232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04919492198417))-π/2
    2×atan(2.85535141181678)-π/2
    2×1.23392589520359-π/2
    2.46785179040717-1.57079632675     		φ = 0.89705546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12890232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.385559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89705546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.397492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68225 KachelY 43649 0.12890232 0.89705546 7.385559 51.397492
    Oben rechts KachelX + 1 68226 KachelY 43649 0.12895026 0.89705546 7.388306 51.397492
    Unten links KachelX 68225 KachelY + 1 43650 0.12890232 0.89702555 7.385559 51.395778
    Unten rechts KachelX + 1 68226 KachelY + 1 43650 0.12895026 0.89702555 7.388306 51.395778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89705546-0.89702555) × R
    2.99100000000774e-05 × 6371000     		dl = 190.556610000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89705546-0.89702555) × R
    2.99100000000774e-05 × 6371000     		dr = 190.556610000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12890232-0.12895026) × cos(0.89705546) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.623913807580651 × 6371000     		do = 190.559336376634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12890232-0.12895026) × cos(0.89702555) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.623937181762015 × 6371000     		du = 190.566475453273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89705546)-sin(0.89702555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623913807580651-0.623937181762015)×R²
    abs(0.12895026-0.12890232)×2.33741813633337e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33741813633337e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33741813633337e-05×40589641000000     		ar = 36313.0213457173m²