Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68226 / 43650
↖ ↑ ↗
← N 51.395778°
E  7.388306°		 ← 190.57 m → N 51.395778°
E  7.391052°		 →
↑
190.56 m
↓
↑
190.56 m
↓
N 51.394064°
E  7.388306°		 ← 190.57 m →
36 314 m²		 N 51.394064°
E  7.391052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520526885986328 y=0.333026885986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520526885986328 × 217)
    floor (0.520526885986328 × 131072)
    floor (68226.5)     		tx = 68226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333026885986328 × 217)
    floor (0.333026885986328 × 131072)
    floor (43650.5)     		ty = 43650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68226 / 43650 ti = "17/68226/43650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68226/43650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68226 ÷ 217
    68226 ÷ 131072     		x = 0.520523071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43650 ÷ 217
    43650 ÷ 131072     		y = 0.333023071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520523071289062 × 2 - 1) × π
    0.041046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12895026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333023071289062 × 2 - 1) × π
    0.333953857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04914698508455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12895026} λ = 0.12895026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04914698508455))-π/2
    2×atan(2.85521453840344)-π/2
    2×1.23391094067676-π/2
    2.46782188135352-1.57079632675     		φ = 0.89702555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12895026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.388306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89702555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.395778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68226 KachelY 43650 0.12895026 0.89702555 7.388306 51.395778
    Oben rechts KachelX + 1 68227 KachelY 43650 0.12899820 0.89702555 7.391052 51.395778
    Unten links KachelX 68226 KachelY + 1 43651 0.12895026 0.89699564 7.388306 51.394064
    Unten rechts KachelX + 1 68227 KachelY + 1 43651 0.12899820 0.89699564 7.391052 51.394064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89702555-0.89699564) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dl = 190.556609999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89702555-0.89699564) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dr = 190.556609999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12895026-0.12899820) × cos(0.89702555) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.623937181762015 × 6371000     		do = 190.566475453163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12895026-0.12899820) × cos(0.89699564) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.623960555385198 × 6371000     		du = 190.573614359321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89702555)-sin(0.89699564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623937181762015-0.623960555385198)×R²
    abs(0.12899820-0.12895026)×2.33736231839421e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33736231839421e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33736231839421e-05×40589641000000     		ar = 36314.3817275127m²