Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68228 / 43652
↖ ↑ ↗
← N 51.392351°
E  7.393799°		 ← 190.58 m → N 51.392351°
E  7.396545°		 →
↑
190.56 m
↓
↑
190.56 m
↓
N 51.390637°
E  7.393799°		 ← 190.59 m →
36 317 m²		 N 51.390637°
E  7.396545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520542144775391 y=0.333042144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520542144775391 × 217)
    floor (0.520542144775391 × 131072)
    floor (68228.5)     		tx = 68228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333042144775391 × 217)
    floor (0.333042144775391 × 131072)
    floor (43652.5)     		ty = 43652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68228 / 43652 ti = "17/68228/43652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68228/43652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68228 ÷ 217
    68228 ÷ 131072     		x = 0.520538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43652 ÷ 217
    43652 ÷ 131072     		y = 0.333038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520538330078125 × 2 - 1) × π
    0.04107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12904613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333038330078125 × 2 - 1) × π
    0.33392333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04905111128531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12904613} λ = 0.12904613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04905111128531))-π/2
    2×atan(2.85494081125984)-π/2
    2×1.23388102994241-π/2
    2.46776205988482-1.57079632675     		φ = 0.89696573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12904613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.393799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89696573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.392351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68228 KachelY 43652 0.12904613 0.89696573 7.393799 51.392351
    Oben rechts KachelX + 1 68229 KachelY 43652 0.12909407 0.89696573 7.396545 51.392351
    Unten links KachelX 68228 KachelY + 1 43653 0.12904613 0.89693582 7.393799 51.390637
    Unten rechts KachelX + 1 68229 KachelY + 1 43653 0.12909407 0.89693582 7.396545 51.390637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89696573-0.89693582) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dl = 190.556609999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89696573-0.89693582) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dr = 190.556609999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12904613-0.12909407) × cos(0.89696573) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.623983928450182 × 6371000     		do = 190.580753094989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12904613-0.12909407) × cos(0.89693582) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.624007300956945 × 6371000     		du = 190.587891660163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89696573)-sin(0.89693582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623983928450182-0.624007300956945)×R²
    abs(0.12909407-0.12904613)×2.33725067627644e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33725067627644e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33725067627644e-05×40589641000000     		ar = 36317.102394146m²