Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68231 / 43657
↖ ↑ ↗
← N 51.383781°
E  7.402038°		 ← 190.62 m → N 51.383781°
E  7.404785°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
N 51.382067°
E  7.402038°		 ← 190.62 m →
36 336 m²		 N 51.382067°
E  7.404785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520565032958984 y=0.333080291748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520565032958984 × 217)
    floor (0.520565032958984 × 131072)
    floor (68231.5)     		tx = 68231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333080291748047 × 217)
    floor (0.333080291748047 × 131072)
    floor (43657.5)     		ty = 43657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68231 / 43657 ti = "17/68231/43657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68231/43657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68231 ÷ 217
    68231 ÷ 131072     		x = 0.520561218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43657 ÷ 217
    43657 ÷ 131072     		y = 0.333076477050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520561218261719 × 2 - 1) × π
    0.0411224365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12918994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333076477050781 × 2 - 1) × π
    0.333847045898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.04881142678721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12918994} λ = 0.12918994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04881142678721))-π/2
    2×atan(2.8542566082041)-π/2
    2×1.23380624330213-π/2
    2.46761248660426-1.57079632675     		φ = 0.89681616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12918994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.402038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89681616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.383781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68231 KachelY 43657 0.12918994 0.89681616 7.402038 51.383781
    Oben rechts KachelX + 1 68232 KachelY 43657 0.12923788 0.89681616 7.404785 51.383781
    Unten links KachelX 68231 KachelY + 1 43658 0.12918994 0.89678624 7.402038 51.382067
    Unten rechts KachelX + 1 68232 KachelY + 1 43658 0.12923788 0.89678624 7.404785 51.382067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89681616-0.89678624) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89681616-0.89678624) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12918994-0.12923788) × cos(0.89681616) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.624100801028244 × 6371000     		do = 190.61644898863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12918994-0.12923788) × cos(0.89678624) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.624124178556466 × 6371000     		du = 190.623589087486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89681616)-sin(0.89678624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624100801028244-0.624124178556466)×R²
    abs(0.12923788-0.12918994)×2.33775282220128e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33775282220128e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33775282220128e-05×40589641000000     		ar = 36336.0490300908m²