Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68234 / 43658
↖ ↑ ↗
← N 51.382067°
E  7.410279°		 ← 190.58 m → N 51.382067°
E  7.413025°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
N 51.380352°
E  7.410279°		 ← 190.59 m →
36 330 m²		 N 51.380352°
E  7.413025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520587921142578 y=0.333087921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520587921142578 × 217)
    floor (0.520587921142578 × 131072)
    floor (68234.5)     		tx = 68234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333087921142578 × 217)
    floor (0.333087921142578 × 131072)
    floor (43658.5)     		ty = 43658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68234 / 43658 ti = "17/68234/43658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68234/43658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68234 ÷ 217
    68234 ÷ 131072     		x = 0.520584106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43658 ÷ 217
    43658 ÷ 131072     		y = 0.333084106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520584106445312 × 2 - 1) × π
    0.041168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12933376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333084106445312 × 2 - 1) × π
    0.333831787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04876348988759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12933376} λ = 0.12933376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04876348988759))-π/2
    2×atan(2.85411978727099)-π/2
    2×1.23379128429326-π/2
    2.46758256858652-1.57079632675     		φ = 0.89678624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12933376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.410279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89678624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.382067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68234 KachelY 43658 0.12933376 0.89678624 7.410279 51.382067
    Oben rechts KachelX + 1 68235 KachelY 43658 0.12938169 0.89678624 7.413025 51.382067
    Unten links KachelX 68234 KachelY + 1 43659 0.12933376 0.89675632 7.410279 51.380352
    Unten rechts KachelX + 1 68235 KachelY + 1 43659 0.12938169 0.89675632 7.413025 51.380352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89678624-0.89675632) × R
    2.99199999999056e-05 × 6371000     		dl = 190.620319999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89678624-0.89675632) × R
    2.99199999999056e-05 × 6371000     		dr = 190.620319999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12933376-0.12938169) × cos(0.89678624) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.624124178556466 × 6371000     		do = 190.583826136091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12933376-0.12938169) × cos(0.89675632) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.624147555525968 × 6371000     		du = 190.590964574954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89678624)-sin(0.89675632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624124178556466-0.624147555525968)×R²
    abs(0.12938169-0.12933376)×2.33769695020536e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33769695020536e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33769695020536e-05×40589641000000     		ar = 36329.8302932701m²