Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68240 / 43663
↖ ↑ ↗
← N 51.373495°
E  7.426758°		 ← 190.62 m → N 51.373495°
E  7.429504°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
N 51.371780°
E  7.426758°		 ← 190.63 m →
36 337 m²		 N 51.371780°
E  7.429504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520633697509766 y=0.333126068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520633697509766 × 217)
    floor (0.520633697509766 × 131072)
    floor (68240.5)     		tx = 68240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333126068115234 × 217)
    floor (0.333126068115234 × 131072)
    floor (43663.5)     		ty = 43663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68240 / 43663 ti = "17/68240/43663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68240/43663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68240 ÷ 217
    68240 ÷ 131072     		x = 0.5206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43663 ÷ 217
    43663 ÷ 131072     		y = 0.333122253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5206298828125 × 2 - 1) × π
    0.041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12962138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333122253417969 × 2 - 1) × π
    0.333755493164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.04852380538949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12962138} λ = 0.12962138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04852380538949))-π/2
    2×atan(2.85343578097839)-π/2
    2×1.2337164808444-π/2
    2.46743296168881-1.57079632675     		φ = 0.89663663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12962138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89663663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.373495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68240 KachelY 43663 0.12962138 0.89663663 7.426758 51.373495
    Oben rechts KachelX + 1 68241 KachelY 43663 0.12966931 0.89663663 7.429504 51.373495
    Unten links KachelX 68240 KachelY + 1 43664 0.12962138 0.89660671 7.426758 51.371780
    Unten rechts KachelX + 1 68241 KachelY + 1 43664 0.12966931 0.89660671 7.429504 51.371780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89663663-0.89660671) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89663663-0.89660671) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12962138-0.12966931) × cos(0.89663663) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.624241065628676 × 6371000     		do = 190.619519009742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12962138-0.12966931) × cos(0.89660671) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.624264439804078 × 6371000     		du = 190.626656595392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89663663)-sin(0.89660671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624241065628676-0.624264439804078)×R²
    abs(0.12966931-0.12962138)×2.33741754016581e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33741754016581e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33741754016581e-05×40589641000000     		ar = 36336.6339989516m²