Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68240 / 43665
↖ ↑ ↗
← N 51.370066°
E  7.426758°		 ← 190.63 m → N 51.370066°
E  7.429504°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
N 51.368351°
E  7.426758°		 ← 190.64 m →
36 339 m²		 N 51.368351°
E  7.429504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520633697509766 y=0.333141326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520633697509766 × 217)
    floor (0.520633697509766 × 131072)
    floor (68240.5)     		tx = 68240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333141326904297 × 217)
    floor (0.333141326904297 × 131072)
    floor (43665.5)     		ty = 43665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68240 / 43665 ti = "17/68240/43665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68240/43665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68240 ÷ 217
    68240 ÷ 131072     		x = 0.5206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43665 ÷ 217
    43665 ÷ 131072     		y = 0.333137512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5206298828125 × 2 - 1) × π
    0.041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12962138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333137512207031 × 2 - 1) × π
    0.333724975585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.04842793159025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12962138} λ = 0.12962138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04842793159025))-π/2
    2×atan(2.85316222436284)-π/2
    2×1.23368655554262-π/2
    2.46737311108524-1.57079632675     		φ = 0.89657678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12962138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89657678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.370066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68240 KachelY 43665 0.12962138 0.89657678 7.426758 51.370066
    Oben rechts KachelX + 1 68241 KachelY 43665 0.12966931 0.89657678 7.429504 51.370066
    Unten links KachelX 68240 KachelY + 1 43666 0.12962138 0.89654686 7.426758 51.368351
    Unten rechts KachelX + 1 68241 KachelY + 1 43666 0.12966931 0.89654686 7.429504 51.368351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89657678-0.89654686) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89657678-0.89654686) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12962138-0.12966931) × cos(0.89657678) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.624287821232578 × 6371000     		do = 190.633796395863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12962138-0.12966931) × cos(0.89654686) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.624311194290081 × 6371000     		du = 190.64093364015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89657678)-sin(0.89654686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624287821232578-0.624311194290081)×R²
    abs(0.12966931-0.12962138)×2.33730575028845e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33730575028845e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33730575028845e-05×40589641000000     		ar = 36339.3555264092m²