Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68244 / 43668
↖ ↑ ↗
← N 51.364921°
E  7.437744°		 ← 190.69 m → N 51.364921°
E  7.440491°		 →
↑
190.68 m
↓
↑
190.68 m
↓
N 51.363207°
E  7.437744°		 ← 190.70 m →
36 363 m²		 N 51.363207°
E  7.440491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520664215087891 y=0.333164215087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520664215087891 × 217)
    floor (0.520664215087891 × 131072)
    floor (68244.5)     		tx = 68244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333164215087891 × 217)
    floor (0.333164215087891 × 131072)
    floor (43668.5)     		ty = 43668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68244 / 43668 ti = "17/68244/43668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68244/43668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68244 ÷ 217
    68244 ÷ 131072     		x = 0.520660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43668 ÷ 217
    43668 ÷ 131072     		y = 0.333160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520660400390625 × 2 - 1) × π
    0.04132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12981312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333160400390625 × 2 - 1) × π
    0.33367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04828412089139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12981312} λ = 0.12981312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04828412089139))-π/2
    2×atan(2.85275193861184)-π/2
    2×1.23364166338735-π/2
    2.4672833267747-1.57079632675     		φ = 0.89648700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12981312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.437744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89648700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.364921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68244 KachelY 43668 0.12981312 0.89648700 7.437744 51.364921
    Oben rechts KachelX + 1 68245 KachelY 43668 0.12986106 0.89648700 7.440491 51.364921
    Unten links KachelX 68244 KachelY + 1 43669 0.12981312 0.89645707 7.437744 51.363207
    Unten rechts KachelX + 1 68245 KachelY + 1 43669 0.12986106 0.89645707 7.440491 51.363207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89648700-0.89645707) × R
    2.99300000000668e-05 × 6371000     		dl = 190.684030000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89648700-0.89645707) × R
    2.99300000000668e-05 × 6371000     		dr = 190.684030000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12981312-0.12986106) × cos(0.89648700) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.624357954351171 × 6371000     		do = 190.694990232578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12981312-0.12986106) × cos(0.89645707) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.624381333542772 × 6371000     		du = 190.702130839473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89648700)-sin(0.89645707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624357954351171-0.624381333542772)×R²
    abs(0.12986106-0.12981312)×2.33791916012249e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33791916012249e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33791916012249e-05×40589641000000     		ar = 36363.1700410499m²