Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68256 / 43681
↖ ↑ ↗
← N 51.342623°
E  7.470703°		 ← 190.75 m → N 51.342623°
E  7.473449°		 →
↑
190.81 m
↓
↑
190.81 m
↓
N 51.340907°
E  7.470703°		 ← 190.76 m →
36 398 m²		 N 51.340907°
E  7.473449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520755767822266 y=0.333263397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520755767822266 × 217)
    floor (0.520755767822266 × 131072)
    floor (68256.5)     		tx = 68256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333263397216797 × 217)
    floor (0.333263397216797 × 131072)
    floor (43681.5)     		ty = 43681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68256 / 43681 ti = "17/68256/43681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68256/43681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68256 ÷ 217
    68256 ÷ 131072     		x = 0.520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43681 ÷ 217
    43681 ÷ 131072     		y = 0.333259582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520751953125 × 2 - 1) × π
    0.04150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13038837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333259582519531 × 2 - 1) × π
    0.333480834960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.04766094119633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13038837} λ = 0.13038837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04766094119633))-π/2
    2×atan(2.8509747153509)-π/2
    2×1.23344707243388-π/2
    2.46689414486775-1.57079632675     		φ = 0.89609782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13038837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89609782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.342623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68256 KachelY 43681 0.13038837 0.89609782 7.470703 51.342623
    Oben rechts KachelX + 1 68257 KachelY 43681 0.13043630 0.89609782 7.473449 51.342623
    Unten links KachelX 68256 KachelY + 1 43682 0.13038837 0.89606787 7.470703 51.340907
    Unten rechts KachelX + 1 68257 KachelY + 1 43682 0.13043630 0.89606787 7.473449 51.340907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89609782-0.89606787) × R
    2.99500000000563e-05 × 6371000     		dl = 190.811450000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89609782-0.89606787) × R
    2.99500000000563e-05 × 6371000     		dr = 190.811450000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13038837-0.13043630) × cos(0.89609782) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.624661910489317 × 6371000     		do = 190.748029050702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13038837-0.13043630) × cos(0.89606787) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.624685298023924 × 6371000     		du = 190.755170715747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89609782)-sin(0.89606787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624661910489317-0.624685298023924)×R²
    abs(0.13043630-0.13038837)×2.33875346072887e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33875346072887e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33875346072887e-05×40589641000000     		ar = 36397.5893662675m²