Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68481 / 43393
↖ ↑ ↗
← N 51.834081°
E  8.088684°		 ← 188.74 m → N 51.834081°
E  8.091431°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 51.832383°
E  8.088684°		 ← 188.74 m →
35 629 m²		 N 51.832383°
E  8.091431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522472381591797 y=0.331066131591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522472381591797 × 217)
    floor (0.522472381591797 × 131072)
    floor (68481.5)     		tx = 68481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331066131591797 × 217)
    floor (0.331066131591797 × 131072)
    floor (43393.5)     		ty = 43393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68481 / 43393 ti = "17/68481/43393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68481/43393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68481 ÷ 217
    68481 ÷ 131072     		x = 0.522468566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43393 ÷ 217
    43393 ÷ 131072     		y = 0.331062316894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522468566894531 × 2 - 1) × π
    0.0449371337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14117417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331062316894531 × 2 - 1) × π
    0.337875366210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.0614667682869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14117417} λ = 0.14117417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0614667682869))-π/2
    2×atan(2.89060773310042)-π/2
    2×1.23773584661457-π/2
    2.47547169322915-1.57079632675     		φ = 0.90467537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14117417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.088684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90467537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.834081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68481 KachelY 43393 0.14117417 0.90467537 8.088684 51.834081
    Oben rechts KachelX + 1 68482 KachelY 43393 0.14122211 0.90467537 8.091431 51.834081
    Unten links KachelX 68481 KachelY + 1 43394 0.14117417 0.90464574 8.088684 51.832383
    Unten rechts KachelX + 1 68482 KachelY + 1 43394 0.14122211 0.90464574 8.091431 51.832383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90467537-0.90464574) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90467537-0.90464574) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14117417-0.14122211) × cos(0.90467537) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617940844579685 × 6371000     		do = 188.73503973207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14117417-0.14122211) × cos(0.90464574) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617964140143152 × 6371000     		du = 188.742154796781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90467537)-sin(0.90464574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617940844579685-0.617964140143152)×R²
    abs(0.14122211-0.14117417)×2.32955634675847e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32955634675847e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32955634675847e-05×40589641000000     		ar = 35628.7002645063m²