Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68482 / 43394
↖ ↑ ↗
← N 51.832383°
E  8.091431°		 ← 188.70 m → N 51.832383°
E  8.094177°		 →
↑
188.71 m
↓
↑
188.71 m
↓
N 51.830686°
E  8.091431°		 ← 188.71 m →
35 611 m²		 N 51.830686°
E  8.094177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522480010986328 y=0.331073760986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522480010986328 × 217)
    floor (0.522480010986328 × 131072)
    floor (68482.5)     		tx = 68482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331073760986328 × 217)
    floor (0.331073760986328 × 131072)
    floor (43394.5)     		ty = 43394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68482 / 43394 ti = "17/68482/43394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68482/43394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68482 ÷ 217
    68482 ÷ 131072     		x = 0.522476196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43394 ÷ 217
    43394 ÷ 131072     		y = 0.331069946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522476196289062 × 2 - 1) × π
    0.044952392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14122211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331069946289062 × 2 - 1) × π
    0.337860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06141883138728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14122211} λ = 0.14122211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06141883138728))-π/2
    2×atan(2.89046916964886)-π/2
    2×1.23772103525128-π/2
    2.47544207050256-1.57079632675     		φ = 0.90464574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14122211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.091431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90464574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.832383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68482 KachelY 43394 0.14122211 0.90464574 8.091431 51.832383
    Oben rechts KachelX + 1 68483 KachelY 43394 0.14127004 0.90464574 8.094177 51.832383
    Unten links KachelX 68482 KachelY + 1 43395 0.14122211 0.90461612 8.091431 51.830686
    Unten rechts KachelX + 1 68483 KachelY + 1 43395 0.14127004 0.90461612 8.094177 51.830686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90464574-0.90461612) × R
    2.96199999999525e-05 × 6371000     		dl = 188.709019999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90464574-0.90461612) × R
    2.96199999999525e-05 × 6371000     		dr = 188.709019999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14122211-0.14127004) × cos(0.90464574) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.617964140143152 × 6371000     		do = 188.702784301324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14122211-0.14127004) × cos(0.90461612) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.617987427302207 × 6371000     		du = 188.709895315486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90464574)-sin(0.90461612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617964140143152-0.617987427302207)×R²
    abs(0.14127004-0.14122211)×2.32871590543082e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.32871590543082e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.32871590543082e-05×40589641000000     		ar = 35610.5884554542m²