Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68484 / 43396
↖ ↑ ↗
← N 51.828988°
E  8.096924°		 ← 188.76 m → N 51.828988°
E  8.099671°		 →
↑
188.71 m
↓
↑
188.71 m
↓
N 51.827291°
E  8.096924°		 ← 188.76 m →
35 621 m²		 N 51.827291°
E  8.099671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522495269775391 y=0.331089019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522495269775391 × 217)
    floor (0.522495269775391 × 131072)
    floor (68484.5)     		tx = 68484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331089019775391 × 217)
    floor (0.331089019775391 × 131072)
    floor (43396.5)     		ty = 43396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68484 / 43396 ti = "17/68484/43396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68484/43396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68484 ÷ 217
    68484 ÷ 131072     		x = 0.522491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43396 ÷ 217
    43396 ÷ 131072     		y = 0.331085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522491455078125 × 2 - 1) × π
    0.04498291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14131798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331085205078125 × 2 - 1) × π
    0.33782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06132295758804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14131798} λ = 0.14131798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06132295758804))-π/2
    2×atan(2.89019206267184)-π/2
    2×1.23769141085-π/2
    2.4753828217-1.57079632675     		φ = 0.90458649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14131798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.096924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90458649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.828988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68484 KachelY 43396 0.14131798 0.90458649 8.096924 51.828988
    Oben rechts KachelX + 1 68485 KachelY 43396 0.14136592 0.90458649 8.099671 51.828988
    Unten links KachelX 68484 KachelY + 1 43397 0.14131798 0.90455687 8.096924 51.827291
    Unten rechts KachelX + 1 68485 KachelY + 1 43397 0.14136592 0.90455687 8.099671 51.827291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90458649-0.90455687) × R
    2.96200000000635e-05 × 6371000     		dl = 188.709020000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90458649-0.90455687) × R
    2.96200000000635e-05 × 6371000     		dr = 188.709020000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14131798-0.14136592) × cos(0.90458649) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.61801072178077 × 6371000     		do = 188.756382027811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14131798-0.14136592) × cos(0.90455687) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.618034007855245 × 6371000     		du = 188.76349419434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90458649)-sin(0.90455687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61801072178077-0.618034007855245)×R²
    abs(0.14136592-0.14131798)×2.3286074475326e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3286074475326e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3286074475326e-05×40589641000000     		ar = 35620.7029389635m²