Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68496 / 43408
↖ ↑ ↗
← N 51.808615°
E  8.129883°		 ← 188.84 m → N 51.808615°
E  8.132629°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
N 51.806917°
E  8.129883°		 ← 188.85 m →
35 661 m²		 N 51.806917°
E  8.132629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522586822509766 y=0.331180572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522586822509766 × 217)
    floor (0.522586822509766 × 131072)
    floor (68496.5)     		tx = 68496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331180572509766 × 217)
    floor (0.331180572509766 × 131072)
    floor (43408.5)     		ty = 43408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68496 / 43408 ti = "17/68496/43408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68496/43408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68496 ÷ 217
    68496 ÷ 131072     		x = 0.5225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43408 ÷ 217
    43408 ÷ 131072     		y = 0.3311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5225830078125 × 2 - 1) × π
    0.045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14189322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3311767578125 × 2 - 1) × π
    0.337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0607477147926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14189322} λ = 0.14189322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0607477147926))-π/2
    2×atan(2.88852997860712)-π/2
    2×1.2375136175478-π/2
    2.4750272350956-1.57079632675     		φ = 0.90423091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14189322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90423091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.808615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68496 KachelY 43408 0.14189322 0.90423091 8.129883 51.808615
    Oben rechts KachelX + 1 68497 KachelY 43408 0.14194116 0.90423091 8.132629 51.808615
    Unten links KachelX 68496 KachelY + 1 43409 0.14189322 0.90420127 8.129883 51.806917
    Unten rechts KachelX + 1 68497 KachelY + 1 43409 0.14194116 0.90420127 8.132629 51.806917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90423091-0.90420127) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dl = 188.836440000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90423091-0.90420127) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dr = 188.836440000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14189322-0.14194116) × cos(0.90423091) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618290228915873 × 6371000     		do = 188.841750701495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14189322-0.14194116) × cos(0.90420127) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618313524198323 × 6371000     		du = 188.848865680376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90423091)-sin(0.90420127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618290228915873-0.618313524198323)×R²
    abs(0.14194116-0.14189322)×2.32952824499311e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32952824499311e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32952824499311e-05×40589641000000     		ar = 35660.8757120112m²