Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69376 / 45824
↖ ↑ ↗
← N 47.517200°
E 10.546875°		 ← 206.28 m → N 47.517200°
E 10.549621°		 →
↑
206.23 m
↓
↑
206.23 m
↓
N 47.515346°
E 10.546875°		 ← 206.28 m →
42 541 m²		 N 47.515346°
E 10.549621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529300689697266 y=0.349613189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529300689697266 × 217)
    floor (0.529300689697266 × 131072)
    floor (69376.5)     		tx = 69376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349613189697266 × 217)
    floor (0.349613189697266 × 131072)
    floor (45824.5)     		ty = 45824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69376 / 45824 ti = "17/69376/45824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69376/45824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69376 ÷ 217
    69376 ÷ 131072     		x = 0.529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45824 ÷ 217
    45824 ÷ 131072     		y = 0.349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529296875 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349609375 × 2 - 1) × π
    0.30078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.944932165310547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18407769} λ = 0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944932165310547))-π/2
    2×atan(2.57263885851109)-π/2
    2×1.20006396514245-π/2
    2.4001279302849-1.57079632675     		φ = 0.82933160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82933160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.517200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69376 KachelY 45824 0.18407769 0.82933160 10.546875 47.517200
    Oben rechts KachelX + 1 69377 KachelY 45824 0.18412563 0.82933160 10.549621 47.517200
    Unten links KachelX 69376 KachelY + 1 45825 0.18407769 0.82929923 10.546875 47.515346
    Unten rechts KachelX + 1 69377 KachelY + 1 45825 0.18412563 0.82929923 10.549621 47.515346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82933160-0.82929923) × R
    3.23699999998928e-05 × 6371000     		dl = 206.229269999317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82933160-0.82929923) × R
    3.23699999998928e-05 × 6371000     		dr = 206.229269999317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18407769-0.18412563) × cos(0.82933160) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.675368842609735 × 6371000     		do = 206.275028527125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18407769-0.18412563) × cos(0.82929923) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.675392714487363 × 6371000     		du = 206.282319613015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82933160)-sin(0.82929923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675368842609735-0.675392714487363)×R²
    abs(0.18412563-0.18407769)×2.38718776275348e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38718776275348e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38718776275348e-05×40589641000000     		ar = 42540.7003736222m²