Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69568 / 44992
↖ ↑ ↗
← N 49.037868°
E 11.074219°		 ← 200.22 m → N 49.037868°
E 11.076966°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
N 49.036067°
E 11.074219°		 ← 200.23 m →
40 081 m²		 N 49.036067°
E 11.076966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530765533447266 y=0.343265533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530765533447266 × 217)
    floor (0.530765533447266 × 131072)
    floor (69568.5)     		tx = 69568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343265533447266 × 217)
    floor (0.343265533447266 × 131072)
    floor (44992.5)     		ty = 44992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69568 / 44992 ti = "17/69568/44992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69568/44992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69568 ÷ 217
    69568 ÷ 131072     		x = 0.53076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44992 ÷ 217
    44992 ÷ 131072     		y = 0.34326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53076171875 × 2 - 1) × π
    0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34326171875 × 2 - 1) × π
    0.3134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.984815665794434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19328158} λ = 0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984815665794434))-π/2
    2×atan(2.6773183175867)-π/2
    2×1.21333429029029-π/2
    2.42666858058058-1.57079632675     		φ = 0.85587225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85587225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.037868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69568 KachelY 44992 0.19328158 0.85587225 11.074219 49.037868
    Oben rechts KachelX + 1 69569 KachelY 44992 0.19332952 0.85587225 11.076966 49.037868
    Unten links KachelX 69568 KachelY + 1 44993 0.19328158 0.85584083 11.074219 49.036067
    Unten rechts KachelX + 1 69569 KachelY + 1 44993 0.19332952 0.85584083 11.076966 49.036067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85587225-0.85584083) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85587225-0.85584083) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19328158-0.19332952) × cos(0.85587225) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.655560085708572 × 6371000     		do = 200.224924291989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19328158-0.19332952) × cos(0.85584083) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.655583811978529 × 6371000     		du = 200.232170905548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85587225)-sin(0.85584083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655560085708572-0.655583811978529)×R²
    abs(0.19332952-0.19328158)×2.37262699568364e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37262699568364e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37262699568364e-05×40589641000000     		ar = 40081.1139348591m²