Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69568 / 45248
↖ ↑ ↗
← N 48.574790°
E 11.074219°		 ← 202.08 m → N 48.574790°
E 11.076966°		 →
↑
202.09 m
↓
↑
202.09 m
↓
N 48.572973°
E 11.074219°		 ← 202.09 m →
40 839 m²		 N 48.572973°
E 11.076966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530765533447266 y=0.345218658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530765533447266 × 217)
    floor (0.530765533447266 × 131072)
    floor (69568.5)     		tx = 69568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345218658447266 × 217)
    floor (0.345218658447266 × 131072)
    floor (45248.5)     		ty = 45248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69568 / 45248 ti = "17/69568/45248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69568/45248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69568 ÷ 217
    69568 ÷ 131072     		x = 0.53076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45248 ÷ 217
    45248 ÷ 131072     		y = 0.34521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53076171875 × 2 - 1) × π
    0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34521484375 × 2 - 1) × π
    0.3095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.972543819491699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19328158} λ = 0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972543819491699))-π/2
    2×atan(2.64466345622225)-π/2
    2×1.20929317209337-π/2
    2.41858634418674-1.57079632675     		φ = 0.84779002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84779002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.574790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69568 KachelY 45248 0.19328158 0.84779002 11.074219 48.574790
    Oben rechts KachelX + 1 69569 KachelY 45248 0.19332952 0.84779002 11.076966 48.574790
    Unten links KachelX 69568 KachelY + 1 45249 0.19328158 0.84775830 11.074219 48.572973
    Unten rechts KachelX + 1 69569 KachelY + 1 45249 0.19332952 0.84775830 11.076966 48.572973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84779002-0.84775830) × R
    3.17200000000684e-05 × 6371000     		dl = 202.088120000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84779002-0.84775830) × R
    3.17200000000684e-05 × 6371000     		dr = 202.088120000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19328158-0.19332952) × cos(0.84779002) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.661641847521221 × 6371000     		do = 202.08245089412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19328158-0.19332952) × cos(0.84775830) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.661665631479461 × 6371000     		du = 202.089715127166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84779002)-sin(0.84775830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661641847521221-0.661665631479461)×R²
    abs(0.19332952-0.19328158)×2.37839582402088e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37839582402088e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37839582402088e-05×40589641000000     		ar = 40839.1965972502m²