Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69633 / 45055
↖ ↑ ↗
← N 48.924304°
E 11.252747°		 ← 200.64 m → N 48.924304°
E 11.255493°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
N 48.922499°
E 11.252747°		 ← 200.65 m →
40 266 m²		 N 48.922499°
E 11.255493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531261444091797 y=0.343746185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531261444091797 × 217)
    floor (0.531261444091797 × 131072)
    floor (69633.5)     		tx = 69633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343746185302734 × 217)
    floor (0.343746185302734 × 131072)
    floor (45055.5)     		ty = 45055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69633 / 45055 ti = "17/69633/45055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69633/45055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69633 ÷ 217
    69633 ÷ 131072     		x = 0.531257629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45055 ÷ 217
    45055 ÷ 131072     		y = 0.343742370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531257629394531 × 2 - 1) × π
    0.0625152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19639748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343742370605469 × 2 - 1) × π
    0.312515258789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.98179564111837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19639748} λ = 0.19639748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98179564111837))-π/2
    2×atan(2.6692449472269)-π/2
    2×1.21234325750399-π/2
    2.42468651500798-1.57079632675     		φ = 0.85389019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19639748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.252747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85389019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.924304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69633 KachelY 45055 0.19639748 0.85389019 11.252747 48.924304
    Oben rechts KachelX + 1 69634 KachelY 45055 0.19644541 0.85389019 11.255493 48.924304
    Unten links KachelX 69633 KachelY + 1 45056 0.19639748 0.85385869 11.252747 48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 69634 KachelY + 1 45056 0.19644541 0.85385869 11.255493 48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85389019-0.85385869) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dl = 200.686499999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85389019-0.85385869) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dr = 200.686499999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19639748-0.19644541) × cos(0.85389019) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.657055535790341 × 6371000     		do = 200.639812231567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19639748-0.19644541) × cos(0.85385869) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 200.647063267482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85389019)-sin(0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657055535790341-0.657079281492828)×R²
    abs(0.19644541-0.19639748)×2.37457024867549e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37457024867549e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37457024867549e-05×40589641000000     		ar = 40266.4292731427m²