Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69634 / 45062
↖ ↑ ↗
← N 48.911670°
E 11.255493°		 ← 200.73 m → N 48.911670°
E 11.258240°		 →
↑
200.75 m
↓
↑
200.75 m
↓
N 48.909864°
E 11.255493°		 ← 200.74 m →
40 298 m²		 N 48.909864°
E 11.258240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531269073486328 y=0.343799591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531269073486328 × 217)
    floor (0.531269073486328 × 131072)
    floor (69634.5)     		tx = 69634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343799591064453 × 217)
    floor (0.343799591064453 × 131072)
    floor (45062.5)     		ty = 45062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69634 / 45062 ti = "17/69634/45062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69634/45062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69634 ÷ 217
    69634 ÷ 131072     		x = 0.531265258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45062 ÷ 217
    45062 ÷ 131072     		y = 0.343795776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531265258789062 × 2 - 1) × π
    0.062530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19644541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343795776367188 × 2 - 1) × π
    0.312408447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.98146008282103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19644541} λ = 0.19644541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98146008282103))-π/2
    2×atan(2.66834941019806)-π/2
    2×1.21223300334198-π/2
    2.42446600668397-1.57079632675     		φ = 0.85366968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19644541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.255493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85366968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.911670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69634 KachelY 45062 0.19644541 0.85366968 11.255493 48.911670
    Oben rechts KachelX + 1 69635 KachelY 45062 0.19649335 0.85366968 11.258240 48.911670
    Unten links KachelX 69634 KachelY + 1 45063 0.19644541 0.85363817 11.255493 48.909864
    Unten rechts KachelX + 1 69635 KachelY + 1 45063 0.19649335 0.85363817 11.258240 48.909864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85366968-0.85363817) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dl = 200.750210000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85366968-0.85363817) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dr = 200.750210000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19644541-0.19649335) × cos(0.85366968) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.657221749552171 × 6371000     		do = 200.732439201167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19644541-0.19649335) × cos(0.85363817) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.657245498226813 × 6371000     		du = 200.739692657694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85366968)-sin(0.85363817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657221749552171-0.657245498226813)×R²
    abs(0.19649335-0.19644541)×2.37486746421656e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37486746421656e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37486746421656e-05×40589641000000     		ar = 40297.8073932232m²