Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69635 / 45061
↖ ↑ ↗
← N 48.913475°
E 11.258240°		 ← 200.73 m → N 48.913475°
E 11.260986°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
N 48.911670°
E 11.258240°		 ← 200.73 m →
40 284 m²		 N 48.911670°
E 11.260986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531276702880859 y=0.343791961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531276702880859 × 217)
    floor (0.531276702880859 × 131072)
    floor (69635.5)     		tx = 69635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343791961669922 × 217)
    floor (0.343791961669922 × 131072)
    floor (45061.5)     		ty = 45061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69635 / 45061 ti = "17/69635/45061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69635/45061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69635 ÷ 217
    69635 ÷ 131072     		x = 0.531272888183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45061 ÷ 217
    45061 ÷ 131072     		y = 0.343788146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531272888183594 × 2 - 1) × π
    0.0625457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19649335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343788146972656 × 2 - 1) × π
    0.312423706054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.98150801972065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19649335} λ = 0.19649335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98150801972065))-π/2
    2×atan(2.6684773256618)-π/2
    2×1.21224875564394-π/2
    2.42449751128787-1.57079632675     		φ = 0.85370118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19649335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.258240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85370118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.913475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69635 KachelY 45061 0.19649335 0.85370118 11.258240 48.913475
    Oben rechts KachelX + 1 69636 KachelY 45061 0.19654129 0.85370118 11.260986 48.913475
    Unten links KachelX 69635 KachelY + 1 45062 0.19649335 0.85366968 11.258240 48.911670
    Unten rechts KachelX + 1 69636 KachelY + 1 45062 0.19654129 0.85366968 11.260986 48.911670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85370118-0.85366968) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dl = 200.686499999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85370118-0.85366968) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dr = 200.686499999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19649335-0.19654129) × cos(0.85370118) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657198007762166 × 6371000     		do = 200.72518784727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19649335-0.19654129) × cos(0.85366968) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657221749552171 × 6371000     		du = 200.732439201051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85370118)-sin(0.85366968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657198007762166-0.657221749552171)×R²
    abs(0.19654129-0.19649335)×2.37417900048609e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37417900048609e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37417900048609e-05×40589641000000     		ar = 40283.5630384809m²