Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69636 / 45059
↖ ↑ ↗
← N 48.917085°
E 11.260986°		 ← 200.71 m → N 48.917085°
E 11.263733°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
N 48.915280°
E 11.260986°		 ← 200.72 m →
40 281 m²		 N 48.915280°
E 11.263733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531284332275391 y=0.343776702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531284332275391 × 217)
    floor (0.531284332275391 × 131072)
    floor (69636.5)     		tx = 69636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343776702880859 × 217)
    floor (0.343776702880859 × 131072)
    floor (45059.5)     		ty = 45059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69636 / 45059 ti = "17/69636/45059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69636/45059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69636 ÷ 217
    69636 ÷ 131072     		x = 0.531280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45059 ÷ 217
    45059 ÷ 131072     		y = 0.343772888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531280517578125 × 2 - 1) × π
    0.06256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19654129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343772888183594 × 2 - 1) × π
    0.312454223632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.98160389351989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19654129} λ = 0.19654129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98160389351989))-π/2
    2×atan(2.66873317498563)-π/2
    2×1.21228025854044-π/2
    2.42456051708088-1.57079632675     		φ = 0.85376419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19654129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.260986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85376419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.917085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69636 KachelY 45059 0.19654129 0.85376419 11.260986 48.917085
    Oben rechts KachelX + 1 69637 KachelY 45059 0.19658923 0.85376419 11.263733 48.917085
    Unten links KachelX 69636 KachelY + 1 45060 0.19654129 0.85373269 11.260986 48.915280
    Unten rechts KachelX + 1 69637 KachelY + 1 45060 0.19658923 0.85373269 11.263733 48.915280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85376419-0.85373269) × R
    3.15000000000731e-05 × 6371000     		dl = 200.686500000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85376419-0.85373269) × R
    3.15000000000731e-05 × 6371000     		dr = 200.686500000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19654129-0.19658923) × cos(0.85376419) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657150514688272 × 6371000     		do = 200.710682240031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19654129-0.19658923) × cos(0.85373269) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.65717425778267 × 6371000     		du = 200.717933992207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85376419)-sin(0.85373269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657150514688272-0.65717425778267)×R²
    abs(0.19658923-0.19654129)×2.37430943977879e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37430943977879e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37430943977879e-05×40589641000000     		ar = 40280.6519992811m²