Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69636 / 45068
↖ ↑ ↗
← N 48.900838°
E 11.260986°		 ← 200.78 m → N 48.900838°
E 11.263733°		 →
↑
200.75 m
↓
↑
200.75 m
↓
N 48.899033°
E 11.260986°		 ← 200.78 m →
40 307 m²		 N 48.899033°
E 11.263733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531284332275391 y=0.343845367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531284332275391 × 217)
    floor (0.531284332275391 × 131072)
    floor (69636.5)     		tx = 69636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343845367431641 × 217)
    floor (0.343845367431641 × 131072)
    floor (45068.5)     		ty = 45068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69636 / 45068 ti = "17/69636/45068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69636/45068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69636 ÷ 217
    69636 ÷ 131072     		x = 0.531280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45068 ÷ 217
    45068 ÷ 131072     		y = 0.343841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531280517578125 × 2 - 1) × π
    0.06256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19654129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343841552734375 × 2 - 1) × π
    0.31231689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.981172461423309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19654129} λ = 0.19654129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.981172461423309))-π/2
    2×atan(2.66758204617154)-π/2
    2×1.21213847757817-π/2
    2.42427695515635-1.57079632675     		φ = 0.85348063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19654129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.260986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85348063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.900838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69636 KachelY 45068 0.19654129 0.85348063 11.260986 48.900838
    Oben rechts KachelX + 1 69637 KachelY 45068 0.19658923 0.85348063 11.263733 48.900838
    Unten links KachelX 69636 KachelY + 1 45069 0.19654129 0.85344912 11.260986 48.899033
    Unten rechts KachelX + 1 69637 KachelY + 1 45069 0.19658923 0.85344912 11.263733 48.899033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85348063-0.85344912) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dl = 200.750210000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85348063-0.85344912) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dr = 200.750210000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19654129-0.19658923) × cos(0.85348063) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657364224275333 × 6371000     		do = 200.775954648804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19654129-0.19658923) × cos(0.85344912) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657387969034432 × 6371000     		du = 200.783206909423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85348063)-sin(0.85344912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657364224275333-0.657387969034432)×R²
    abs(0.19658923-0.19654129)×2.37447590997197e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37447590997197e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37447590997197e-05×40589641000000     		ar = 40306.5430085923m²