Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69640 / 45080
↖ ↑ ↗
← N 48.879167°
E 11.271973°		 ← 200.82 m → N 48.879167°
E 11.274719°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
N 48.877361°
E 11.271973°		 ← 200.83 m →
40 328 m²		 N 48.877361°
E 11.274719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531314849853516 y=0.343936920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531314849853516 × 217)
    floor (0.531314849853516 × 131072)
    floor (69640.5)     		tx = 69640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343936920166016 × 217)
    floor (0.343936920166016 × 131072)
    floor (45080.5)     		ty = 45080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69640 / 45080 ti = "17/69640/45080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69640/45080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69640 ÷ 217
    69640 ÷ 131072     		x = 0.53131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45080 ÷ 217
    45080 ÷ 131072     		y = 0.34393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53131103515625 × 2 - 1) × π
    0.0626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19673304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34393310546875 × 2 - 1) × π
    0.3121337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.980597218627869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19673304} λ = 0.19673304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980597218627869))-π/2
    2×atan(2.66604798009077)-π/2
    2×1.21194936457923-π/2
    2.42389872915847-1.57079632675     		φ = 0.85310240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19673304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.271973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85310240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.879167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69640 KachelY 45080 0.19673304 0.85310240 11.271973 48.879167
    Oben rechts KachelX + 1 69641 KachelY 45080 0.19678097 0.85310240 11.274719 48.879167
    Unten links KachelX 69640 KachelY + 1 45081 0.19673304 0.85307088 11.271973 48.877361
    Unten rechts KachelX + 1 69641 KachelY + 1 45081 0.19678097 0.85307088 11.274719 48.877361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85310240-0.85307088) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dl = 200.813920000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85310240-0.85307088) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dr = 200.813920000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19673304-0.19678097) × cos(0.85310240) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.657649201166332 × 6371000     		do = 200.821095096036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19673304-0.19678097) × cos(0.85307088) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.657672945622143 × 6371000     		du = 200.828345751264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85310240)-sin(0.85307088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657649201166332-0.657672945622143)×R²
    abs(0.19678097-0.19673304)×2.37444558112143e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37444558112143e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37444558112143e-05×40589641000000     		ar = 40328.3993445708m²