Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69649 / 45071
↖ ↑ ↗
← N 48.895421°
E 11.296692°		 ← 200.80 m → N 48.895421°
E 11.299439°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
N 48.893615°
E 11.296692°		 ← 200.80 m →
40 324 m²		 N 48.893615°
E 11.299439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531383514404297 y=0.343868255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531383514404297 × 217)
    floor (0.531383514404297 × 131072)
    floor (69649.5)     		tx = 69649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343868255615234 × 217)
    floor (0.343868255615234 × 131072)
    floor (45071.5)     		ty = 45071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69649 / 45071 ti = "17/69649/45071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69649/45071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69649 ÷ 217
    69649 ÷ 131072     		x = 0.531379699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45071 ÷ 217
    45071 ÷ 131072     		y = 0.343864440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531379699707031 × 2 - 1) × π
    0.0627593994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19716447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343864440917969 × 2 - 1) × π
    0.312271118164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.981028650724449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19716447} λ = 0.19716447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.981028650724449))-π/2
    2×atan(2.66719844691672)-π/2
    2×1.21209120701255-π/2
    2.42418241402511-1.57079632675     		φ = 0.85338609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19716447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.296692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85338609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.895421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69649 KachelY 45071 0.19716447 0.85338609 11.296692 48.895421
    Oben rechts KachelX + 1 69650 KachelY 45071 0.19721241 0.85338609 11.299439 48.895421
    Unten links KachelX 69649 KachelY + 1 45072 0.19716447 0.85335457 11.296692 48.893615
    Unten rechts KachelX + 1 69650 KachelY + 1 45072 0.19721241 0.85335457 11.299439 48.893615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85338609-0.85335457) × R
    3.15199999999516e-05 × 6371000     		dl = 200.813919999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85338609-0.85335457) × R
    3.15199999999516e-05 × 6371000     		dr = 200.813919999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19716447-0.19721241) × cos(0.85338609) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657435464129595 × 6371000     		do = 200.79771313401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19716447-0.19721241) × cos(0.85335457) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657459214465196 × 6371000     		du = 200.804967097836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85338609)-sin(0.85335457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657435464129595-0.657459214465196)×R²
    abs(0.19721241-0.19716447)×2.37503356008695e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37503356008695e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37503356008695e-05×40589641000000     		ar = 40323.7042531623m²