Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69656 / 45048
↖ ↑ ↗
← N 48.936935°
E 11.315918°		 ← 200.59 m → N 48.936935°
E 11.318664°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
N 48.935131°
E 11.315918°		 ← 200.60 m →
40 243 m²		 N 48.935131°
E 11.318664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531436920166016 y=0.343692779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531436920166016 × 217)
    floor (0.531436920166016 × 131072)
    floor (69656.5)     		tx = 69656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343692779541016 × 217)
    floor (0.343692779541016 × 131072)
    floor (45048.5)     		ty = 45048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69656 / 45048 ti = "17/69656/45048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69656/45048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69656 ÷ 217
    69656 ÷ 131072     		x = 0.53143310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45048 ÷ 217
    45048 ÷ 131072     		y = 0.34368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53143310546875 × 2 - 1) × π
    0.0628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19750003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34368896484375 × 2 - 1) × π
    0.3126220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.98213119941571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19750003} λ = 0.19750003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98213119941571))-π/2
    2×atan(2.67014078481103)-π/2
    2×1.21245348377985-π/2
    2.4249069675597-1.57079632675     		φ = 0.85411064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19750003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.315918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85411064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.936935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69656 KachelY 45048 0.19750003 0.85411064 11.315918 48.936935
    Oben rechts KachelX + 1 69657 KachelY 45048 0.19754796 0.85411064 11.318664 48.936935
    Unten links KachelX 69656 KachelY + 1 45049 0.19750003 0.85407915 11.315918 48.935131
    Unten rechts KachelX + 1 69657 KachelY + 1 45049 0.19754796 0.85407915 11.318664 48.935131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85411064-0.85407915) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dl = 200.622790000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85411064-0.85407915) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dr = 200.622790000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19750003-0.19754796) × cos(0.85411064) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.65688933531863 × 6371000     		do = 200.589060918254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19750003-0.19754796) × cos(0.85407915) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.656913078043668 × 6371000     		du = 200.596311044969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85411064)-sin(0.85407915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65688933531863-0.656913078043668)×R²
    abs(0.19754796-0.19750003)×2.37427250375788e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37427250375788e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37427250375788e-05×40589641000000     		ar = 40243.4643186807m²