Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69663 / 45089
↖ ↑ ↗
← N 48.862908°
E 11.335144°		 ← 200.93 m → N 48.862908°
E 11.337891°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
N 48.861101°
E 11.335144°		 ← 200.94 m →
40 376 m²		 N 48.861101°
E 11.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531490325927734 y=0.344005584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531490325927734 × 217)
    floor (0.531490325927734 × 131072)
    floor (69663.5)     		tx = 69663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344005584716797 × 217)
    floor (0.344005584716797 × 131072)
    floor (45089.5)     		ty = 45089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69663 / 45089 ti = "17/69663/45089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69663/45089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69663 ÷ 217
    69663 ÷ 131072     		x = 0.531486511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45089 ÷ 217
    45089 ÷ 131072     		y = 0.344001770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531486511230469 × 2 - 1) × π
    0.0629730224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19783558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344001770019531 × 2 - 1) × π
    0.311996459960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.980165786531288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19783558} λ = 0.19783558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980165786531288))-π/2
    2×atan(2.66489800950608)-π/2
    2×1.21180747603846-π/2
    2.42361495207692-1.57079632675     		φ = 0.85281863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19783558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.335144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85281863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.862908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69663 KachelY 45089 0.19783558 0.85281863 11.335144 48.862908
    Oben rechts KachelX + 1 69664 KachelY 45089 0.19788352 0.85281863 11.337891 48.862908
    Unten links KachelX 69663 KachelY + 1 45090 0.19783558 0.85278709 11.335144 48.861101
    Unten rechts KachelX + 1 69664 KachelY + 1 45090 0.19788352 0.85278709 11.337891 48.861101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85281863-0.85278709) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dl = 200.941340000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85281863-0.85278709) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dr = 200.941340000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19783558-0.19788352) × cos(0.85281863) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657862945526467 × 6371000     		do = 200.928276955986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19783558-0.19788352) × cos(0.85278709) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657886699161257 × 6371000     		du = 200.935531927469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85281863)-sin(0.85278709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657862945526467-0.657886699161257)×R²
    abs(0.19788352-0.19783558)×2.37536347900136e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37536347900136e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37536347900136e-05×40589641000000     		ar = 40375.5261306149m²