Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69696 / 45120
↖ ↑ ↗
← N 48.806863°
E 11.425781°		 ← 201.15 m → N 48.806863°
E 11.428528°		 →
↑
201.13 m
↓
↑
201.13 m
↓
N 48.805054°
E 11.425781°		 ← 201.16 m →
40 459 m²		 N 48.805054°
E 11.428528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531742095947266 y=0.344242095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531742095947266 × 217)
    floor (0.531742095947266 × 131072)
    floor (69696.5)     		tx = 69696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344242095947266 × 217)
    floor (0.344242095947266 × 131072)
    floor (45120.5)     		ty = 45120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69696 / 45120 ti = "17/69696/45120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69696/45120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69696 ÷ 217
    69696 ÷ 131072     		x = 0.53173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45120 ÷ 217
    45120 ÷ 131072     		y = 0.34423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34423828125 × 2 - 1) × π
    0.3115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.978679742643066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19941750} λ = 0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978679742643066))-π/2
    2×atan(2.66094079513167)-π/2
    2×1.21131839587186-π/2
    2.42263679174373-1.57079632675     		φ = 0.85184046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85184046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.806863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69696 KachelY 45120 0.19941750 0.85184046 11.425781 48.806863
    Oben rechts KachelX + 1 69697 KachelY 45120 0.19946544 0.85184046 11.428528 48.806863
    Unten links KachelX 69696 KachelY + 1 45121 0.19941750 0.85180889 11.425781 48.805054
    Unten rechts KachelX + 1 69697 KachelY + 1 45121 0.19946544 0.85180889 11.428528 48.805054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85184046-0.85180889) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dl = 201.132469999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85184046-0.85180889) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dr = 201.132469999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19941750-0.19946544) × cos(0.85184046) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.658599327353307 × 6371000     		do = 201.15318692037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19941750-0.19946544) × cos(0.85180889) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.658623083254514 × 6371000     		du = 201.160442584076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85184046)-sin(0.85180889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658599327353307-0.658623083254514)×R²
    abs(0.19946544-0.19941750)×2.37559012069566e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37559012069566e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37559012069566e-05×40589641000000     		ar = 40459.1670117481m²