Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69700 / 45124
↖ ↑ ↗
← N 48.799627°
E 11.436768°		 ← 201.18 m → N 48.799627°
E 11.439514°		 →
↑
201.20 m
↓
↑
201.20 m
↓
N 48.797818°
E 11.436768°		 ← 201.19 m →
40 478 m²		 N 48.797818°
E 11.439514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531772613525391 y=0.344272613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531772613525391 × 217)
    floor (0.531772613525391 × 131072)
    floor (69700.5)     		tx = 69700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344272613525391 × 217)
    floor (0.344272613525391 × 131072)
    floor (45124.5)     		ty = 45124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69700 / 45124 ti = "17/69700/45124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69700/45124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69700 ÷ 217
    69700 ÷ 131072     		x = 0.531768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45124 ÷ 217
    45124 ÷ 131072     		y = 0.344268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531768798828125 × 2 - 1) × π
    0.06353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19960925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344268798828125 × 2 - 1) × π
    0.31146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.978487995044586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19960925} λ = 0.19960925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978487995044586))-π/2
    2×atan(2.66043061503898)-π/2
    2×1.2112552488971-π/2
    2.42251049779421-1.57079632675     		φ = 0.85171417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19960925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.436768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85171417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.799627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69700 KachelY 45124 0.19960925 0.85171417 11.436768 48.799627
    Oben rechts KachelX + 1 69701 KachelY 45124 0.19965719 0.85171417 11.439514 48.799627
    Unten links KachelX 69700 KachelY + 1 45125 0.19960925 0.85168259 11.436768 48.797818
    Unten rechts KachelX + 1 69701 KachelY + 1 45125 0.19965719 0.85168259 11.439514 48.797818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85171417-0.85168259) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dl = 201.196180000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85171417-0.85168259) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dr = 201.196180000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19960925-0.19965719) × cos(0.85171417) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658694354543587 × 6371000     		do = 201.182210670398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19960925-0.19965719) × cos(0.85168259) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658718115342636 × 6371000     		du = 201.189467830031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85171417)-sin(0.85168259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658694354543587-0.658718115342636)×R²
    abs(0.19965719-0.19960925)×2.37607990491995e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37607990491995e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37607990491995e-05×40589641000000     		ar = 40477.8223305702m²