Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69704 / 45128
↖ ↑ ↗
← N 48.792390°
E 11.447754°		 ← 201.17 m → N 48.792390°
E 11.450500°		 →
↑
201.20 m
↓
↑
201.20 m
↓
N 48.790581°
E 11.447754°		 ← 201.18 m →
40 475 m²		 N 48.790581°
E 11.450500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531803131103516 y=0.344303131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531803131103516 × 217)
    floor (0.531803131103516 × 131072)
    floor (69704.5)     		tx = 69704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344303131103516 × 217)
    floor (0.344303131103516 × 131072)
    floor (45128.5)     		ty = 45128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69704 / 45128 ti = "17/69704/45128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69704/45128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69704 ÷ 217
    69704 ÷ 131072     		x = 0.53179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45128 ÷ 217
    45128 ÷ 131072     		y = 0.34429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53179931640625 × 2 - 1) × π
    0.0635986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19980100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34429931640625 × 2 - 1) × π
    0.3114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.978296247446106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19980100} λ = 0.19980100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978296247446106))-π/2
    2×atan(2.65992053276271)-π/2
    2×1.21119209281129-π/2
    2.42238418562258-1.57079632675     		φ = 0.85158786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19980100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.447754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85158786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.792390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69704 KachelY 45128 0.19980100 0.85158786 11.447754 48.792390
    Oben rechts KachelX + 1 69705 KachelY 45128 0.19984893 0.85158786 11.450500 48.792390
    Unten links KachelX 69704 KachelY + 1 45129 0.19980100 0.85155628 11.447754 48.790581
    Unten rechts KachelX + 1 69705 KachelY + 1 45129 0.19984893 0.85155628 11.450500 48.790581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85158786-0.85155628) × R
    3.157999999992e-05 × 6371000     		dl = 201.19617999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85158786-0.85155628) × R
    3.157999999992e-05 × 6371000     		dr = 201.19617999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19980100-0.19984893) × cos(0.85158786) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.658789386274791 × 6371000     		do = 201.169264335331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19980100-0.19984893) × cos(0.85155628) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.658813144446157 × 6371000     		du = 201.176519178768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85158786)-sin(0.85155628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658789386274791-0.658813144446157)×R²
    abs(0.19984893-0.19980100)×2.37581713661283e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37581713661283e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37581713661283e-05×40589641000000     		ar = 40475.2173442697m²