Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69712 / 45136
↖ ↑ ↗
← N 48.777913°
E 11.469726°		 ← 201.27 m → N 48.777913°
E 11.472473°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
N 48.776103°
E 11.469726°		 ← 201.28 m →
40 508 m²		 N 48.776103°
E 11.472473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531864166259766 y=0.344364166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531864166259766 × 217)
    floor (0.531864166259766 × 131072)
    floor (69712.5)     		tx = 69712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344364166259766 × 217)
    floor (0.344364166259766 × 131072)
    floor (45136.5)     		ty = 45136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69712 / 45136 ti = "17/69712/45136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69712/45136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69712 ÷ 217
    69712 ÷ 131072     		x = 0.5318603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45136 ÷ 217
    45136 ÷ 131072     		y = 0.3443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5318603515625 × 2 - 1) × π
    0.063720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20018449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3443603515625 × 2 - 1) × π
    0.311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.977912752249146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20018449} λ = 0.20018449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977912752249146))-π/2
    2×atan(2.65890066158444)-π/2
    2×1.21106575330526-π/2
    2.42213150661052-1.57079632675     		φ = 0.85133518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20018449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.469726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85133518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.777913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69712 KachelY 45136 0.20018449 0.85133518 11.469726 48.777913
    Oben rechts KachelX + 1 69713 KachelY 45136 0.20023243 0.85133518 11.472473 48.777913
    Unten links KachelX 69712 KachelY + 1 45137 0.20018449 0.85130359 11.469726 48.776103
    Unten rechts KachelX + 1 69713 KachelY + 1 45137 0.20023243 0.85130359 11.472473 48.776103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85133518-0.85130359) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dl = 201.25988999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85133518-0.85130359) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dr = 201.25988999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20018449-0.20023243) × cos(0.85133518) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.658979463333936 × 6371000     		do = 201.269290233555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20018449-0.20023243) × cos(0.85130359) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.659003223768951 × 6371000     		du = 201.276547282002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85133518)-sin(0.85130359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658979463333936-0.659003223768951)×R²
    abs(0.20023243-0.20018449)×2.37604350157294e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37604350157294e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37604350157294e-05×40589641000000     		ar = 40508.1654924613m²