Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69728 / 45024
↖ ↑ ↗
← N 48.980217°
E 11.513672°		 ← 200.46 m → N 48.980217°
E 11.516418°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
N 48.978414°
E 11.513672°		 ← 200.46 m →
40 179 m²		 N 48.978414°
E 11.516418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531986236572266 y=0.343509674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531986236572266 × 217)
    floor (0.531986236572266 × 131072)
    floor (69728.5)     		tx = 69728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343509674072266 × 217)
    floor (0.343509674072266 × 131072)
    floor (45024.5)     		ty = 45024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69728 / 45024 ti = "17/69728/45024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69728/45024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69728 ÷ 217
    69728 ÷ 131072     		x = 0.531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45024 ÷ 217
    45024 ÷ 131072     		y = 0.343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531982421875 × 2 - 1) × π
    0.06396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.20095148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343505859375 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.983281685006592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20095148} λ = 0.20095148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983281685006592))-π/2
    2×atan(2.67321451110945)-π/2
    2×1.21283119075625-π/2
    2.4256623815125-1.57079632675     		φ = 0.85486605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20095148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85486605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.980217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69728 KachelY 45024 0.20095148 0.85486605 11.513672 48.980217
    Oben rechts KachelX + 1 69729 KachelY 45024 0.20099942 0.85486605 11.516418 48.980217
    Unten links KachelX 69728 KachelY + 1 45025 0.20095148 0.85483459 11.513672 48.978414
    Unten rechts KachelX + 1 69729 KachelY + 1 45025 0.20099942 0.85483459 11.516418 48.978414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85486605-0.85483459) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dl = 200.4316600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85486605-0.85483459) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dr = 200.4316600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20095148-0.20099942) × cos(0.85486605) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.65631957862558 × 6371000     		do = 200.456892978307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20095148-0.20099942) × cos(0.85483459) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656343314336246 × 6371000     		du = 200.464142475301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85486605)-sin(0.85483459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65631957862558-0.656343314336246)×R²
    abs(0.20099942-0.20095148)×2.37357106658287e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37357106658287e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37357106658287e-05×40589641000000     		ar = 40178.6343359072m²