Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69760 / 45184
↖ ↑ ↗
← N 48.690960°
E 11.601562°		 ← 201.62 m → N 48.690960°
E 11.604309°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
N 48.689147°
E 11.601562°		 ← 201.62 m →
40 643 m²		 N 48.689147°
E 11.604309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532230377197266 y=0.344730377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532230377197266 × 217)
    floor (0.532230377197266 × 131072)
    floor (69760.5)     		tx = 69760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344730377197266 × 217)
    floor (0.344730377197266 × 131072)
    floor (45184.5)     		ty = 45184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69760 / 45184 ti = "17/69760/45184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69760/45184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69760 ÷ 217
    69760 ÷ 131072     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45184 ÷ 217
    45184 ÷ 131072     		y = 0.3447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3447265625 × 2 - 1) × π
    0.310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.975611781067383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975611781067383))-π/2
    2×atan(2.65278964112417)-π/2
    2×1.21030695077814-π/2
    2.42061390155628-1.57079632675     		φ = 0.84981757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84981757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.690960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69760 KachelY 45184 0.20248546 0.84981757 11.601562 48.690960
    Oben rechts KachelX + 1 69761 KachelY 45184 0.20253340 0.84981757 11.604309 48.690960
    Unten links KachelX 69760 KachelY + 1 45185 0.20248546 0.84978593 11.601562 48.689147
    Unten rechts KachelX + 1 69761 KachelY + 1 45185 0.20253340 0.84978593 11.604309 48.689147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84981757-0.84978593) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84981757-0.84978593) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20253340) × cos(0.84981757) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.66012019098618 × 6371000     		do = 201.61769782088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20253340) × cos(0.84978593) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.6601439573579 × 6371000     		du = 201.62495668255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84981757)-sin(0.84978593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66012019098618-0.6601439573579)×R²
    abs(0.20253340-0.20248546)×2.37663717204128e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37663717204128e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37663717204128e-05×40589641000000     		ar = 40642.5126216143m²