Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69892 / 45316
↖ ↑ ↗
← N 48.451066°
E 11.964111°		 ← 202.58 m → N 48.451066°
E 11.966858°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
N 48.449244°
E 11.964111°		 ← 202.58 m →
41 029 m²		 N 48.449244°
E 11.966858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533237457275391 y=0.345737457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533237457275391 × 217)
    floor (0.533237457275391 × 131072)
    floor (69892.5)     		tx = 69892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345737457275391 × 217)
    floor (0.345737457275391 × 131072)
    floor (45316.5)     		ty = 45316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69892 / 45316 ti = "17/69892/45316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69892/45316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69892 ÷ 217
    69892 ÷ 131072     		x = 0.533233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45316 ÷ 217
    45316 ÷ 131072     		y = 0.345733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533233642578125 × 2 - 1) × π
    0.06646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20881313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345733642578125 × 2 - 1) × π
    0.30853271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.969284110317535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20881313} λ = 0.20881313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969284110317535))-π/2
    2×atan(2.63605665794219)-π/2
    2×1.20821347396859-π/2
    2.41642694793718-1.57079632675     		φ = 0.84563062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20881313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.964111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84563062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.451066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69892 KachelY 45316 0.20881313 0.84563062 11.964111 48.451066
    Oben rechts KachelX + 1 69893 KachelY 45316 0.20886107 0.84563062 11.966858 48.451066
    Unten links KachelX 69892 KachelY + 1 45317 0.20881313 0.84559883 11.964111 48.449244
    Unten rechts KachelX + 1 69893 KachelY + 1 45317 0.20886107 0.84559883 11.966858 48.449244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84563062-0.84559883) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dl = 202.534089999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84563062-0.84559883) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dr = 202.534089999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20881313-0.20886107) × cos(0.84563062) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.663259464998546 × 6371000     		do = 202.576512909169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20881313-0.20886107) × cos(0.84559883) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.663283255966415 × 6371000     		du = 202.583779283136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84563062)-sin(0.84559883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663259464998546-0.663283255966415)×R²
    abs(0.20886107-0.20881313)×2.37909678697523e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37909678697523e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37909678697523e-05×40589641000000     		ar = 41029.3855449526m²