Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69952 / 45376
↖ ↑ ↗
← N 48.341646°
E 12.128906°		 ← 203.01 m → N 48.341646°
E 12.131653°		 →
↑
202.98 m
↓
↑
202.98 m
↓
N 48.339821°
E 12.128906°		 ← 203.02 m →
41 208 m²		 N 48.339821°
E 12.131653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533695220947266 y=0.346195220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533695220947266 × 217)
    floor (0.533695220947266 × 131072)
    floor (69952.5)     		tx = 69952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346195220947266 × 217)
    floor (0.346195220947266 × 131072)
    floor (45376.5)     		ty = 45376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69952 / 45376 ti = "17/69952/45376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69952/45376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69952 ÷ 217
    69952 ÷ 131072     		x = 0.53369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45376 ÷ 217
    45376 ÷ 131072     		y = 0.34619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53369140625 × 2 - 1) × π
    0.0673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21168935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34619140625 × 2 - 1) × π
    0.3076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.966407896340332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21168935} λ = 0.21168935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966407896340332))-π/2
    2×atan(2.62848568802197)-π/2
    2×1.20725860915929-π/2
    2.41451721831859-1.57079632675     		φ = 0.84372089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21168935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.128906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84372089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.341646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69952 KachelY 45376 0.21168935 0.84372089 12.128906 48.341646
    Oben rechts KachelX + 1 69953 KachelY 45376 0.21173729 0.84372089 12.131653 48.341646
    Unten links KachelX 69952 KachelY + 1 45377 0.21168935 0.84368903 12.128906 48.339821
    Unten rechts KachelX + 1 69953 KachelY + 1 45377 0.21173729 0.84368903 12.131653 48.339821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84372089-0.84368903) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dl = 202.980059999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84372089-0.84368903) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dr = 202.980059999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21168935-0.21173729) × cos(0.84372089) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.664687476582563 × 6371000     		do = 203.012664403946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21168935-0.21173729) × cos(0.84368903) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.664711279536685 × 6371000     		du = 203.019934438823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84372089)-sin(0.84368903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664687476582563-0.664711279536685)×R²
    abs(0.21173729-0.21168935)×2.38029541215212e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38029541215212e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38029541215212e-05×40589641000000     		ar = 41208.2606409962m²