Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70146 / 45570
↖ ↑ ↗
← N 47.986245°
E 12.661743°		 ← 204.38 m → N 47.986245°
E 12.664490°		 →
↑
204.38 m
↓
↑
204.38 m
↓
N 47.984407°
E 12.661743°		 ← 204.39 m →
41 773 m²		 N 47.984407°
E 12.664490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535175323486328 y=0.347675323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535175323486328 × 217)
    floor (0.535175323486328 × 131072)
    floor (70146.5)     		tx = 70146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347675323486328 × 217)
    floor (0.347675323486328 × 131072)
    floor (45570.5)     		ty = 45570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70146 / 45570 ti = "17/70146/45570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70146/45570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70146 ÷ 217
    70146 ÷ 131072     		x = 0.535171508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45570 ÷ 217
    45570 ÷ 131072     		y = 0.347671508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535171508789062 × 2 - 1) × π
    0.070343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22098911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347671508789062 × 2 - 1) × π
    0.304656982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.957108137814041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22098911} λ = 0.22098911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957108137814041))-π/2
    2×atan(2.60415471726604)-π/2
    2×1.20415715036835-π/2
    2.4083143007367-1.57079632675     		φ = 0.83751797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22098911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.661743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83751797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.986245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70146 KachelY 45570 0.22098911 0.83751797 12.661743 47.986245
    Oben rechts KachelX + 1 70147 KachelY 45570 0.22103704 0.83751797 12.664490 47.986245
    Unten links KachelX 70146 KachelY + 1 45571 0.22098911 0.83748589 12.661743 47.984407
    Unten rechts KachelX + 1 70147 KachelY + 1 45571 0.22103704 0.83748589 12.664490 47.984407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83751797-0.83748589) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dl = 204.381679999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83751797-0.83748589) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dr = 204.381679999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22098911-0.22103704) × cos(0.83751797) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.669308994564435 × 6371000     		do = 204.381553277462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22098911-0.22103704) × cos(0.83748589) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.66933282915205 × 6371000     		du = 204.38883145552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83751797)-sin(0.83748589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669308994564435-0.66933282915205)×R²
    abs(0.22103704-0.22098911)×2.38345876150126e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38345876150126e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38345876150126e-05×40589641000000     		ar = 41772.5889865319m²