Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70160 / 45584
↖ ↑ ↗
← N 47.960503°
E 12.700195°		 ← 204.53 m → N 47.960503°
E 12.702942°		 →
↑
204.51 m
↓
↑
204.51 m
↓
N 47.958663°
E 12.700195°		 ← 204.53 m →
41 828 m²		 N 47.958663°
E 12.702942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535282135009766 y=0.347782135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535282135009766 × 217)
    floor (0.535282135009766 × 131072)
    floor (70160.5)     		tx = 70160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347782135009766 × 217)
    floor (0.347782135009766 × 131072)
    floor (45584.5)     		ty = 45584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70160 / 45584 ti = "17/70160/45584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70160/45584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70160 ÷ 217
    70160 ÷ 131072     		x = 0.5352783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45584 ÷ 217
    45584 ÷ 131072     		y = 0.3477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5352783203125 × 2 - 1) × π
    0.070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22166022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3477783203125 × 2 - 1) × π
    0.304443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.95643702121936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22166022} λ = 0.22166022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95643702121936))-π/2
    2×atan(2.60240761214136)-π/2
    2×1.20393250218688-π/2
    2.40786500437377-1.57079632675     		φ = 0.83706868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22166022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83706868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.960503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70160 KachelY 45584 0.22166022 0.83706868 12.700195 47.960503
    Oben rechts KachelX + 1 70161 KachelY 45584 0.22170816 0.83706868 12.702942 47.960503
    Unten links KachelX 70160 KachelY + 1 45585 0.22166022 0.83703658 12.700195 47.958663
    Unten rechts KachelX + 1 70161 KachelY + 1 45585 0.22170816 0.83703658 12.702942 47.958663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83706868-0.83703658) × R
    3.20999999999794e-05 × 6371000     		dl = 204.509099999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83706868-0.83703658) × R
    3.20999999999794e-05 × 6371000     		dr = 204.509099999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22166022-0.22170816) × cos(0.83706868) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.669642742354945 × 6371000     		do = 204.526130119373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22166022-0.22170816) × cos(0.83703658) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.669666582146321 × 6371000     		du = 204.533411405295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83706868)-sin(0.83703658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669642742354945-0.669666582146321)×R²
    abs(0.22170816-0.22166022)×2.38397913756572e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38397913756572e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38397913756572e-05×40589641000000     		ar = 41828.1993453276m²