Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71679 / 38913
↖ ↑ ↗
← N 58.812320°
E 16.872253°		 ← 158.16 m → N 58.812320°
E 16.875000°		 →
↑
158.19 m
↓
↑
158.19 m
↓
N 58.810897°
E 16.872253°		 ← 158.17 m →
25 021 m²		 N 58.810897°
E 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546871185302734 y=0.296886444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546871185302734 × 217)
    floor (0.546871185302734 × 131072)
    floor (71679.5)     		tx = 71679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296886444091797 × 217)
    floor (0.296886444091797 × 131072)
    floor (38913.5)     		ty = 38913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71679 / 38913 ti = "17/71679/38913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71679/38913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71679 ÷ 217
    71679 ÷ 131072     		x = 0.546867370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38913 ÷ 217
    38913 ÷ 131072     		y = 0.296882629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546867370605469 × 2 - 1) × π
    0.0937347412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29447637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296882629394531 × 2 - 1) × π
    0.406234741210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.27622407858475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29447637} λ = 0.29447637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27622407858475))-π/2
    2×atan(3.58308470405973)-π/2
    2×1.29863247092492-π/2
    2.59726494184983-1.57079632675     		φ = 1.02646862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29447637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.872253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02646862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.812320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71679 KachelY 38913 0.29447637 1.02646862 16.872253 58.812320
    Oben rechts KachelX + 1 71680 KachelY 38913 0.29452431 1.02646862 16.875000 58.812320
    Unten links KachelX 71679 KachelY + 1 38914 0.29447637 1.02644379 16.872253 58.810897
    Unten rechts KachelX + 1 71680 KachelY + 1 38914 0.29452431 1.02644379 16.875000 58.810897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02646862-1.02644379) × R
    2.48299999998647e-05 × 6371000     		dl = 158.191929999138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02646862-1.02644379) × R
    2.48299999998647e-05 × 6371000     		dr = 158.191929999138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29447637-0.29452431) × cos(1.02646862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.517843077123912 × 6371000     		do = 158.162605034527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29447637-0.29452431) × cos(1.02644379) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.517864318424083 × 6371000     		du = 158.16909267435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02646862)-sin(1.02644379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517843077123912-0.517864318424083)×R²
    abs(0.29452431-0.29447637)×2.12413001702272e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12413001702272e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12413001702272e-05×40589641000000     		ar = 25020.560891353m²